Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции y = x^4 - 2x², нам нужно выполнить несколько шагов. Первым делом, мы должны найти производную этой функции. Производная поможет нам определить, где функция возрастает, а где убывает.

1. Находим производную функции:

   Функция y = x^4 - 2x². Найдем ее производную y'. Для этого применим правило дифференцирования:

   • Производная x^n равна n*x^(n-1).

   Таким образом, производная будет:

   • y' = 4x^3 - 4x.
2. Находим критические точки:

   Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Найдем, где y' = 0:

   • 4x^3 - 4x = 0.
   • Выносим 4x: 4x(x^2 - 1) = 0.
   • Теперь решаем уравнение: 4x = 0 или x^2 - 1 = 0.
   • Из 4x = 0 получаем x = 0.
   • Из x^2 - 1 = 0 получаем x = 1 и x = -1.

   Таким образом, критические точки: x = -1, x = 0, x = 1.

3. Определяем знаки производной:

   Теперь нужно определить, на каких промежутках производная положительна, а на каких отрицательна. Для этого рассмотрим интервалы, образованные критическими точками:

   • (-∞, -1)
   • (-1, 0)
   • (0, 1)
   • (1, +∞)

   Теперь подставим тестовые значения из каждого интервала в производную y' = 4x^3 - 4x:

   • Для x = -2 (из интервала (-∞, -1)): y' = 4(-2)^3 - 4(-2) = -32 + 8 = -24 (отрицательно)
   • Для x = -0.5 (из интервала (-1, 0)): y' = 4(-0.5)^3 - 4(-0.5) = -0.5 + 2 = 1.5 (положительно)
   • Для x = 0.5 (из интервала (0, 1)): y' = 4(0.5)^3 - 4(0.5) = 0.5 - 2 = -1.5 (отрицательно)
   • Для x = 2 (из интервала (1, +∞)): y' = 4(2)^3 - 4(2) = 32 - 8 = 24 (положительно)
4. Определяем промежутки возрастания и убывания:

   Теперь мы можем сделать выводы:

   • На промежутке (-∞, -1) функция убывает (производная отрицательна).
   • На промежутке (-1, 0) функция возрастает (производная положительна).
   • На промежутке (0, 1) функция убывает (производная отрицательна).
   • На промежутке (1, +∞) функция возрастает (производная положительна).

Таким образом, мы можем заключить:

• Функция возрастает на промежутках: (-1, 0) и (1, +∞).
• Функция убывает на промежутках: (-∞, -1) и (0, 1).