1) Решите уравнение cos2x=1-cos(П/2-x). 2) Найдите все корни этого уравнения, которые принадлежат промежутку: [-5П/2; -П). Желательно подробно расписать, как решали уравнение.

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения cos2x 1-cos(П/2-x) корни уравнения промежуток [-5П/2; -П) математика тригонометрические уравнения подробное решение Новый

Давайте решим уравнение cos(2x) = 1 - cos(π/2 - x).

Первым шагом упростим правую часть уравнения. Мы знаем, что cos(π/2 - x) = sin(x) (это основное тригонометрическое тождество). Подставим это в уравнение:

cos(2x) = 1 - sin(x)

Теперь у нас есть уравнение, которое нужно решить. Напомним, что cos(2x) можно выразить через sin(x) с помощью формулы:

• cos(2x) = 1 - 2sin²(x)

Подставим это в уравнение:

1 - 2sin²(x) = 1 - sin(x)

Теперь уберем единицы с обеих сторон:

-2sin²(x) = -sin(x)

Умножим обе стороны на -1:

2sin²(x) = sin(x)

Переносим все в одну сторону:

2sin²(x) - sin(x) = 0

Теперь можно вынести общий множитель:

sin(x)(2sin(x) - 1) = 0

Это уравнение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим оба случая:

1. sin(x) = 0
2. 2sin(x) - 1 = 0 (или sin(x) = 1/2)

Теперь найдем корни для каждого случая.

1. Для sin(x) = 0:

Синус равен нулю в точках:

• x = kπ, где k - целое число.

2. Для sin(x) = 1/2:

Синус равен 1/2 в точках:

• x = π/6 + 2kπ
• x = 5π/6 + 2kπ

Теперь у нас есть общая форма корней:

• x = kπ
• x = π/6 + 2kπ
• x = 5π/6 + 2kπ

Теперь найдем все корни в промежутке [-5π/2; -π).

Рассмотрим каждый случай:

1. Для x = kπ:

• k = -3: x = -3π (не входит в промежуток)
• k = -2: x = -2π (это -6π/3, не входит в промежуток)
• k = -1: x = -π (это -3, входит в промежуток)

Таким образом, из этого случая мы получили корень x = -π.

2. Для x = π/6 + 2kπ:

• k = -3: x = π/6 - 6π = π/6 - 36π/6 = -35π/6 (не входит в промежуток)
• k = -2: x = π/6 - 4π = π/6 - 24π/6 = -23π/6 (не входит в промежуток)
• k = -1: x = π/6 - 2π = π/6 - 12π/6 = -11π/6 (не входит в промежуток)
• k = 0: x = π/6 (входит в промежуток)

Таким образом, из этого случая мы получили корень x = -11π/6.

3. Для x = 5π/6 + 2kπ:

• k = -3: x = 5π/6 - 6π = 5π/6 - 36π/6 = -31π/6 (не входит в промежуток)
• k = -2: x = 5π/6 - 4π = 5π/6 - 24π/6 = -19π/6 (не входит в промежуток)
• k = -1: x = 5π/6 - 2π = 5π/6 - 12π/6 = -7π/6 (входит в промежуток)
• k = 0: x = 5π/6 (не входит в промежуток)

Таким образом, из этого случая мы получили корень x = -7π/6.

Теперь соберем все корни, которые принадлежат промежутку [-5π/2; -π).

Корни: x = -π, x = -11π/6, x = -7π/6.

Таким образом, все корни уравнения, принадлежащие заданному промежутку, это -π, -11π/6, -7π/6.