Для решения уравнения 5 cos²(x) - 12 cos(x) + 4 = 0, сначала сделаем замену. Обозначим a = cos(x). Тогда уравнение примет вид:

5a² - 12a + 4 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант D вычисляется по формуле:

D = b² - 4ac

В нашем случае a = 5, b = -12 и c = 4. Подставим значения в формулу:

• D = (-12)² - 4 * 5 * 4
• D = 144 - 80 = 64

Теперь находим корни уравнения, используя формулу для корней квадратного уравнения:

a₁ = (12 - √D) / (2 * 5)a₂ = (12 + √D) / (2 * 5)

Подставим значение дискриминанта:

• a₁ = (12 - 8) / 10 = 4 / 10 = 0,4
• a₂ = (12 + 8) / 10 = 20 / 10 = 2

Теперь проверим значения корней. Мы знаем, что косинус может принимать значения только в пределах [-1; 1]. Первое значение a₁ = 0,4 допустимо, а второе значение a₂ = 2 не принадлежит этому интервалу. Таким образом, мы оставляем только a₁ = 0,4.

Теперь вернемся к cos(x):

cos(x) = 0,4

Для нахождения x, мы используем арккосинус:

x = arccos(0,4) + 2πn и x = -arccos(0,4) + 2πn, где n - целое число.

Теперь нам нужно найти корни в заданном интервале [-5π/2; -π]. Сначала вычислим arccos(0,4):

• arccos(0,4) ≈ 1,1593 (рад)

Теперь подставим это значение в формулы. Поскольку нас интересуют значения x в интервале [-5π/2; -π], мы рассмотрим:

• x = -arccos(0,4) + 2πn

При n = -2:

• x = -1,1593 + 2 * (-2π) = -1,1593 - 4π ≈ -13,0993 (рад) - не входит в интервал.

При n = -1:

• x = -1,1593 + 2 * (-π) = -1,1593 - 2π ≈ -7,399 (рад) - не входит в интервал.

При n = 0:

• x = -1,1593 + 0 = -1,1593 (рад) - входит в интервал.

Теперь, используя n = -1 для второй формулы:

• x = -arccos(0,4) + 2πn

При n = -1:

• x = -1,1593 + 2 * (-π) = -1,1593 - 2π ≈ -7,399 (рад) - не входит в интервал.

Таким образом, единственным корнем уравнения 5 cos²(x) - 12 cos(x) + 4 = 0, который принадлежит отрезку [-5π/2; -π], является:

x ≈ -1,1593 (рад) или в угловых мерах x ≈ -66,42°. Это и будет окончательным ответом.