Похожие вопросы
2024-11-16 07:03:51
Как решить уравнение 4sin^2 x = tgx?
Математика 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения 4sin^2 x tgx тригонометрические уравнения математика 11 класс методы решения уравнений синус тангенс алгебраические преобразования угловые функции
2024-11-16 07:03:51
Чтобы решить уравнение 4sin²x = tgx, начнем с преобразования правой части уравнения. Мы знаем, что tgx = sinx/cosx. Подставим это в уравнение:
4sin²x = sinx/cosx
Теперь, чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны на cosx, при этом учтем, что cosx ≠ 0, то есть x ≠ π/2 + πn, где n ∈ Z. Таким образом, мы получаем:
4sin²x * cosx - sinx = 0
Теперь это уравнение можно разложить на множители. Вынесем sinx за скобки:
sinx * (4sinx * cosx - 1) = 0
Теперь у нас есть два случая, которые нужно рассмотреть:
- Первый случай: sinx = 0
- Второй случай: 4sinx * cosx - 1 = 0
Решаем первый случай:
sinx = 0 дает нам следующие решения:
x = πk, где k ∈ Z.
Теперь перейдем ко второму случаю:
Из уравнения 4sinx * cosx - 1 = 0 выразим sinx:
4sinx * cosx = 1
sinx = 1/(4cosx)
Теперь мы можем выразить sin2x, используя формулу sin2x = 2sinx * cosx. Подставим это в уравнение:
2sin2x = 1
sin2x = 1/2
Теперь решим это уравнение.
Мы знаем, что sin2x = 1/2 имеет решения:
2x = (-1)^m * π/6 + πm, где m ∈ Z.
Теперь делим на 2, чтобы найти x:
x = (-1)^m * π/12 + πm/2, где m ∈ Z.
Таким образом, мы получили все решения нашего уравнения:
- x = πk, где k ∈ Z (из первого случая) и
- x = (-1)^m * π/12 + πm/2, где m ∈ Z (из второго случая).
