Как решить уравнение 4sin^2 x = tgx?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения 4sin^2 x tgx тригонометрические уравнения математика 11 класс методы решения уравнений синус тангенс алгебраические преобразования угловые функции Новый

Чтобы решить уравнение 4sin²x = tgx, начнем с преобразования правой части уравнения. Мы знаем, что tgx = sinx/cosx. Подставим это в уравнение:

4sin²x = sinx/cosx

Теперь, чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны на cosx, при этом учтем, что cosx ≠ 0, то есть x ≠ π/2 + πn, где n ∈ Z. Таким образом, мы получаем:

4sin²x * cosx - sinx = 0

Теперь это уравнение можно разложить на множители. Вынесем sinx за скобки:

sinx * (4sinx * cosx - 1) = 0

Теперь у нас есть два случая, которые нужно рассмотреть:

• Первый случай: sinx = 0
• Второй случай: 4sinx * cosx - 1 = 0

Решаем первый случай:

sinx = 0 дает нам следующие решения:

x = πk, где k ∈ Z.

Теперь перейдем ко второму случаю:

Из уравнения 4sinx * cosx - 1 = 0 выразим sinx:

4sinx * cosx = 1

sinx = 1/(4cosx)

Теперь мы можем выразить sin2x, используя формулу sin2x = 2sinx * cosx. Подставим это в уравнение:

2sin2x = 1

sin2x = 1/2

Теперь решим это уравнение.

Мы знаем, что sin2x = 1/2 имеет решения:

2x = (-1)^m * π/6 + πm, где m ∈ Z.

Теперь делим на 2, чтобы найти x:

x = (-1)^m * π/12 + πm/2, где m ∈ Z.

Таким образом, мы получили все решения нашего уравнения:

• x = πk, где k ∈ Z (из первого случая) и
• x = (-1)^m * π/12 + πm/2, где m ∈ Z (из второго случая).