30 БАЛЛОВ, СРОЧНО!

Как решить уравнение: cos(4x) - sin(4x) = √2 * sin(3x)?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения косинус и синус тригонометрические уравнения математика 11 класс уравнение cos sin √2 sin 3x Новый

Для решения уравнения cos(4x) - sin(4x) = √2 * sin(3x) мы будем использовать некоторые тригонометрические преобразования и свойства функций. Давайте разберем шаги по решению этого уравнения.

1. Приведем левую часть к более удобному виду. Мы можем выразить cos(4x) - sin(4x) через одну тригонометрическую функцию. Для этого воспользуемся формулой cos(a) - sin(a) = √2 * cos(a + π/4).
2. Используем формулу: В нашем случае a = 4x, тогда:
   • cos(4x) - sin(4x) = √2 * cos(4x + π/4)
3. Подставим это в уравнение:
   • √2 * cos(4x + π/4) = √2 * sin(3x)
4. Упростим уравнение: Разделим обе стороны на √2 (при условии, что √2 не равно 0):
   • cos(4x + π/4) = sin(3x)
5. Используем основное тригонометрическое тождество: Мы знаем, что sin(α) = cos(π/2 - α), следовательно:
   • cos(4x + π/4) = cos(π/2 - 3x)
6. Решаем уравнение: У нас есть два случая, когда косинусы равны:
   1. 4x + π/4 = π/2 - 3x + 2kπ, где k - целое число.
   2. 4x + π/4 = - (π/2 - 3x) + 2kπ.
7. Решим первый случай:
   • 4x + 3x = π/2 - π/4 + 2kπ
   • 7x = π/4 + 2kπ
   • x = π/28 + (2kπ)/7.
8. Решим второй случай:
   • 4x + π/4 = -π/2 + 3x + 2kπ
   • 4x - 3x = -π/2 - π/4 + 2kπ
   • x = -3π/4 + 2kπ.
9. Итак, обобщим решение: Мы получили два типа решений:
   • x = π/28 + (2kπ)/7, где k - целое число.
   • x = -3π/4 + 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, у нас есть общее решение уравнения. Не забудьте проверить, входят ли полученные значения x в нужный диапазон, если это требуется по условию задачи.