Числа х, у, z удовлетворяют уравнению х^2 + у^2 + z^2 = 2/3. Какое наибольшее значение может иметь выражение t = 2x + y - z? Пожалуйста, объясните нормально.

Математика 11 класс Оптимизация выражений математика уравнение максимальное значение числа x y z выражение решение оптимизация анализ Новый

Привет! Давай разберемся с этой задачкой. У нас есть уравнение:

x^2 + y^2 + z^2 = 2/3

И нам нужно найти наибольшее значение выражения:

t = 2x + y - z

Для начала, заметим, что у нас есть ограничение на сумму квадратов. Это значит, что x, y и z не могут быть слишком большими, иначе сумма превысит 2/3.

Чтобы найти максимальное значение t, можно воспользоваться методом Лагранжа, но давай попробуем сделать это более простым способом. Мы можем выразить z через x и y, а затем подставить в t.

Из уравнения:

z^2 = 2/3 - x^2 - y^2

Теперь, чтобы z был действительным, нужно, чтобы 2/3 - x^2 - y^2 >= 0. Это значит, что x^2 + y^2 <= 2/3.

Теперь подставим z в t:

t = 2x + y - sqrt(2/3 - x^2 - y^2)

Теперь, чтобы найти максимум, лучше всего воспользоваться методом градиента или просто подбирать значения. Но давай попробуем максимизировать t с учетом ограничений.

Если мы возьмем x = sqrt(2/3), y = 0 и z = 0, то:

t = 2*sqrt(2/3) + 0 - 0 = 2*sqrt(2/3)

Теперь проверим, удовлетворяет ли это условию:

(sqrt(2/3))^2 + 0^2 + 0^2 = 2/3

Да, удовлетворяет!

Теперь давай попробуем другие комбинации, например:

• x = 0, y = sqrt(2/3), z = 0, тогда t = sqrt(2/3).
• x = 0, y = 0, z = sqrt(2/3), тогда t = -sqrt(2/3).

Из всех этих значений, максимальное, которое мы нашли, это 2*sqrt(2/3). А если посчитать, это примерно 0.816.

Таким образом, наибольшее значение, которое может иметь выражение t = 2x + y - z, равно 2*sqrt(2/3).

Надеюсь, это помогло! Если есть вопросы, спрашивай!