Какое наименьшее значение имеет отношение: х^4 + 4 / x^2 + 2x + 2?

Математика 11 класс Оптимизация выражений наименьшее значение отношение х^4 + 4 x^2 + 2x + 2 математика алгебра задачи по математике Новый

Чтобы найти наименьшее значение отношения y = (x^4 + 4) / (x^2 + 2x + 2), начнем с упрощения выражения и анализа его поведения.

1. **Упрощение знаменателя**:

• Обратите внимание, что x^2 + 2x + 2 можно переписать как (x + 1)^2 + 1. Это выражение всегда положительно, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным, а добавление 1 делает его строго положительным.

2. **Анализ числителя**:

• Числитель x^4 + 4 также всегда положителен, так как x^4 - это квадрат числа, а 4 - положительное число.

3. **Поиск критических точек**:

• Для нахождения наименьшего значения функции удобно использовать производную. Найдем производную y по x:

Сначала запишем y в удобной форме:

• y = (x^4 + 4) / (x^2 + 2x + 2)

Теперь применим правило деления производных:

• y' = ( (4x^3)(x^2 + 2x + 2) - (x^4 + 4)(2x + 2) ) / (x^2 + 2x + 2)^2

4. **Решение уравнения y' = 0**:

• Нам нужно решить уравнение в числителе:

Упрощаем числитель:

• 4x^3(x^2 + 2x + 2) - (x^4 + 4)(2x + 2) = 0

5. **Находим критические точки**:

• Это уравнение может быть довольно сложным для решения, поэтому лучше использовать численные методы или графический анализ.

6. **Проверка значений**:

• Мы можем проверить значения y в различных точках, чтобы определить, где оно достигает минимума. Например, подставим x = 0, x = 1 и x = -1.

7. **Вычисление значений**:

• Для x = 0: y = (0^4 + 4) / (0^2 + 2*0 + 2) = 4 / 2 = 2.
• Для x = 1: y = (1^4 + 4) / (1^2 + 2*1 + 2) = (1 + 4) / (1 + 2 + 2) = 5 / 5 = 1.
• Для x = -1: y = ((-1)^4 + 4) / ((-1)^2 + 2*(-1) + 2) = (1 + 4) / (1 - 2 + 2) = 5 / 1 = 5.

8. **Вывод**:

• Наименьшее значение, которое мы нашли, это 1 при x = 1.

Таким образом, наименьшее значение отношения (x^4 + 4) / (x^2 + 2x + 2) равно 1.