Числа х, у, z удовлетворяют уравнению х^2+у^2+z^2=2/3. Какое наибольшее значение может принимать выражение t=2x+y-z?

Математика 11 класс Оптимизация выражений уравнение х^2+у^2+z^2 максимальное значение t задача по математике математика 0 оптимизация выражения Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать метод Лагранжа, чтобы найти максимальное значение выражения t = 2x + y - z при условии, что x^2 + y^2 + z^2 = 2/3.

Шаг 1: Записать функцию и ограничение.

Мы имеем функцию:

t = 2x + y - z

и ограничение:

g(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 2/3 = 0.

Шаг 2: Найти градиенты.

Нам нужно найти градиенты функции t и g:

• ∇t = (2, 1, -1)
• ∇g = (2x, 2y, 2z)

Шаг 3: Установить равенство градиентов.

По методу Лагранжа мы устанавливаем равенство:

∇t = λ ∇g

Это приводит к системе уравнений:

• 2 = λ(2x)
• 1 = λ(2y)
• -1 = λ(2z)

Шаг 4: Выразить λ и найти соотношения между x, y, z.

Из первого уравнения:

λ = 1/x

Из второго уравнения:

λ = 1/(2y)

Из третьего уравнения:

λ = -1/(2z)

Таким образом, у нас есть:

• 1/x = 1/(2y) → 2y = x → y = x/2
• 1/x = -1/(2z) → -2z = x → z = -x/2

Шаг 5: Подставить y и z в ограничение.

Теперь подставим полученные значения y и z в ограничение:

x^2 + (x/2)^2 + (-x/2)^2 = 2/3.

Это упростится до:

x^2 + x^2/4 + x^2/4 = 2/3.

Соберем все члены:

x^2 + x^2/2 = 2/3.

Таким образом:

(3/2)x^2 = 2/3.

Теперь решим это уравнение:

x^2 = (2/3) * (2/3) = 4/9.

Следовательно:

x = ±2/3.

Шаг 6: Найти y и z.

Теперь найдем y и z:

• Если x = 2/3, то y = (2/3)/2 = 1/3 и z = -(2/3)/2 = -1/3.
• Если x = -2/3, то y = (-2/3)/2 = -1/3 и z = -(-2/3)/2 = 1/3.

Шаг 7: Подставить в t.

Теперь подставим эти значения в t:

• Для x = 2/3, y = 1/3, z = -1/3:

t = 2(2/3) + (1/3) - (-1/3) = 4/3 + 1/3 + 1/3 = 6/3 = 2.

• Для x = -2/3, y = -1/3, z = 1/3:

t = 2(-2/3) + (-1/3) - (1/3) = -4/3 - 1/3 - 1/3 = -6/3 = -2.

Шаг 8: Вывод.

Таким образом, наибольшее значение, которое может принимать выражение t = 2x + y - z, равно 2.