Для функции y = sin(2x) ответьте на следующие вопросы:

1. Какова область определения;
2. Какова область значений;
3. Каков наименьший положительный период;
4. В каких промежутках функция возрастает;
5. В каких промежутках функция меняет знак.

Математика 11 класс Тригонометрические функции функция y = sin(2x) область определения область значений наименьший положительный период промежутки возрастания промежутки изменения знака Новый

Давайте подробно разберем каждый из вопросов, касающихся функции y = sin(2x).

1. Область определения:

Область определения функции y = sin(2x) включает все значения x, для которых функция определена. Поскольку синус определен для всех действительных чисел, область определения данной функции равна:

• x ∈ R (все действительные числа).

2. Область значений:

Область значений функции y = sin(2x) — это все возможные значения, которые может принимать функция. Поскольку синус всегда колеблется в пределах от -1 до 1, область значений будет:

• y ∈ [-1, 1].

3. Наименьший положительный период:

Период функции синуса определяется как 2π, но в данной функции аргумент 2x. Период функции y = sin(kx) равен 2π/k. В нашем случае k = 2, следовательно:

• Период = 2π/2 = π.

4. Промежутки, в которых функция возрастает:

Функция синуса возрастает на интервале, где производная функции положительна. Для функции y = sin(2x) производная равна:

• y' = 2cos(2x).

Функция возрастает, когда 2cos(2x) > 0, то есть cos(2x) > 0. Это происходит на интервалах:

• (2nπ - π/2, 2nπ + π/2), где n — целое число.

В пределах одного периода (от 0 до π) функция возрастает на интервале:

• (0, π/2).

5. Промежутки, в которых функция меняет знак:

Функция y = sin(2x) меняет знак, когда y = 0. Это происходит, когда 2x = nπ, где n — целое число. Следовательно:

• x = nπ/2.

В пределах одного периода (от 0 до π) функция меняет знак в точках:

• x = 0, x = π/2, x = π.

Таким образом, функция меняет знак на интервалах:

• (0, π/2) — положительное значение;
• (π/2, π) — отрицательное значение.

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять основные характеристики функции y = sin(2x).