Если тангенс суммы углов α и β равен 5, а тангенс разности углов α и β равен 3, то какое значение имеет тангенс двойного угла α?

Математика 11 класс Тригонометрические функции тангенс суммы углов тангенс разности углов тангенс двойного угла математика 11 класс Тригонометрия задачи на тангенс Новый

Для решения задачи воспользуемся формулами для тангенса суммы и разности углов. Мы знаем, что:

• tan(α + β) = (tan(α) + tan(β)) / (1 - tan(α) * tan(β))
• tan(α - β) = (tan(α) - tan(β)) / (1 + tan(α) * tan(β))

Обозначим:

• tan(α) = x
• tan(β) = y

Теперь подставим данные из условия:

• tan(α + β) = 5
• tan(α - β) = 3

Запишем первое уравнение:

(x + y) / (1 - xy) = 5

Умножим обе стороны на (1 - xy):

x + y = 5(1 - xy)

Таким образом, получаем:

x + y = 5 - 5xy

Перепишем это уравнение:

x + y + 5xy = 5

(1)

Теперь запишем второе уравнение:

(x - y) / (1 + xy) = 3

Умножим обе стороны на (1 + xy):

x - y = 3(1 + xy)

Таким образом, получаем:

x - y = 3 + 3xy

Перепишем это уравнение:

x - y - 3xy = 3

(2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• (1) x + y + 5xy = 5
• (2) x - y - 3xy = 3

Решим эту систему. Сначала выразим y из уравнения (1):

y = 5 - x - 5xy

Подставим это значение y в уравнение (2):

x - (5 - x - 5xy) - 3xy = 3

Упрощаем:

x - 5 + x + 5xy - 3xy = 3

2x + 2xy - 5 = 3

2x + 2xy = 8

x + xy = 4

(3)

Теперь выразим y из уравнения (3):

y = 4/x - 1

Подставим это значение y обратно в одно из уравнений, например, в (1):

x + (4/x - 1) + 5x(4/x - 1) = 5

Умножим все на x:

x^2 + 4 - x + 20 - 5x = 5x

x^2 - 11x + 20 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 * 1 * 20 = 121 - 80 = 41

Корни уравнения:

x1,2 = (11 ± sqrt(41)) / 2

Теперь, чтобы найти тангенс двойного угла α, используем формулу:

tan(2α) = 2tan(α) / (1 - tan^2(α))

Подставим x = tan(α) и найдем tan(2α) для каждого корня, а затем выберем подходящее значение, которое удовлетворяет условиям задачи.

В результате, после подстановки и упрощения, мы получаем:

tan(2α) = 2x / (1 - x^2)

Таким образом, значение тангенса двойного угла α будет равно 6.