Как доказать, что если a - нечётное число, то a² - 1 делится на 6?

Математика 11 класс Делимость и свойства чисел доказать нечётное число a² - 1 делится на 6 математика 11 класс Новый

Чтобы доказать, что если a - нечётное число, то a² - 1 делится на 6, мы можем воспользоваться свойствами нечётных чисел и делимости. Давайте рассмотрим шаги этого доказательства.

1. Определим нечётное число: Нечётное число можно представить в виде a = 2k + 1, где k - целое число.
2. Вычислим a²: Подставим a в выражение для a²:
• a² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 4k(k + 1) + 1.
3. Вычтем 1: Теперь вычтем 1 из a²:
• a² - 1 = (4k(k + 1) + 1) - 1 = 4k(k + 1).
4. Проверим делимость на 2: Поскольку 4k(k + 1) содержит множитель 4, оно делится на 2. Следовательно, a² - 1 делится на 2.
5. Проверим делимость на 3: Теперь нужно показать, что a² - 1 делится на 3. Рассмотрим возможные остатки от деления a на 3:
• Если a ≡ 1 (mod 3), то a² ≡ 1² ≡ 1 (mod 3), следовательно, a² - 1 ≡ 0 (mod 3).
• Если a ≡ 2 (mod 3), то a² ≡ 2² ≡ 4 ≡ 1 (mod 3), следовательно, a² - 1 ≡ 0 (mod 3).
6. Таким образом, в обоих случаях a² - 1 делится на 3.
7. Сделаем вывод: Мы доказали, что a² - 1 делится на 2 и на 3. Поскольку 2 и 3 являются взаимно простыми числами, то a² - 1 делится на их произведение, то есть на 6.

Таким образом, мы пришли к заключению, что если a - нечётное число, то a² - 1 действительно делится на 6.