Помогите!!! С подробным решением! На доске были написаны несколько целых чисел. Несколько раз с доски стирали по два числа, сумма которых делится на 5.

1. Сможет ли сумма всех оставшихся на доске чисел быть равной 24, если изначально были написаны числа от 3 до 14?
2. Сможет ли на доске остаться ровно два числа, разность между которыми составляет 45, если изначально были написаны все натуральные числа от 53 до 158 включительно?

Математика 11 класс Делимость и свойства чисел математика 11 класс решение задач целые числа сумма делится на 5 остаток от деления разность чисел натуральные числа числа от 3 до 14 числа от 53 до 158 оставшиеся числа на доске Новый

Давайте разберем оба вопроса по порядку.

Первый вопрос:

Нам нужно выяснить, может ли сумма всех оставшихся на доске чисел быть равной 24, если изначально были написаны числа от 3 до 14 и стирались пары чисел, сумма которых делится на 5.

Сначала найдем сумму всех чисел от 3 до 14:

• Сумма чисел от 1 до 14 равна (14 * 15) / 2 = 105.
• Сумма чисел от 1 до 2 равна (2 * 3) / 2 = 3.
• Следовательно, сумма чисел от 3 до 14 равна 105 - 3 = 102.

Теперь, чтобы понять, может ли сумма оставшихся чисел быть равной 24, мы должны выяснить, сколько чисел и каких мы можем стереть. Сначала найдем, сколько мы можем стереть:

Сумма 102 минус 24 дает нам 78. Это означает, что мы должны стереть числа, сумма которых составляет 78. Но так как мы стираем пары чисел, сумма которых делится на 5, давайте посмотрим, какие остатки по модулю 5 имеют числа от 3 до 14:

• Числа с остатком 0: 5, 10.
• Числа с остатком 1: 6, 11.
• Числа с остатком 2: 7, 12.
• Числа с остатком 3: 8, 13.
• Числа с остатком 4: 9, 14.

Теперь мы можем заметить, что сумма остатков по модулю 5 чисел от 3 до 14 составляет 0 (все остатки могут быть сгруппированы в пары, сумма которых делится на 5). Таким образом, если мы будем стирать числа, сумма оставшихся чисел будет также делиться на 5.

Сумма 24 по модулю 5 равна 4, а сумма 102 по модулю 5 равна 2. Так как мы не можем изменить этот остаток при стирании, мы не можем получить сумму 24.

Ответ: Сумма всех оставшихся на доске чисел не может быть равной 24.

Второй вопрос:

Теперь давайте рассмотрим второй вопрос: может ли на доске остаться ровно два числа, разность между которыми составляет 45, если изначально были написаны все натуральные числа от 53 до 158 включительно?

Сначала найдем диапазон чисел от 53 до 158:

• Минимальное число: 53
• Максимальное число: 158

Теперь мы ищем два числа x и y, такие что:

• x - y = 45
• 53 ≤ y < x ≤ 158

Из первого уравнения можно выразить x через y:

x = y + 45

Теперь подставим это выражение во второе неравенство:

• 53 ≤ y < y + 45 ≤ 158

Рассмотрим первое неравенство:

• y ≥ 53

Теперь рассмотрим второе неравенство:

• y + 45 ≤ 158
• y ≤ 158 - 45
• y ≤ 113

Таким образом, мы имеем:

• 53 ≤ y ≤ 113

Теперь найдем соответствующее x:

• Если y = 53, то x = 53 + 45 = 98.
• Если y = 113, то x = 113 + 45 = 158.

Таким образом, возможные пары (x, y) могут быть следующими:

• (98, 53)
• (99, 54)
• (100, 55)
• (101, 56)
• (102, 57)
• (103, 58)
• (104, 59)
• (105, 60)
• (106, 61)
• (107, 62)
• (108, 63)
• (109, 64)
• (110, 65)
• (111, 66)
• (112, 67)
• (113, 68)
• (158, 113)

Таким образом, такие пары существуют.

Ответ: Да, на доске могут остаться ровно два числа, разность между которыми составляет 45.