Как можно доказать следующее равенство:
tg(45+a) - tg(45-a) = 2tg2a?

Математика 11 класс Тригонометрические функции доказать равенство tg(45+a) tg(45-a) 2tg2a Тригонометрия математика формулы тангенса свойства тангенса математическое доказательство Новый

Давайте разберем, как можно доказать равенство tg(45+a) - tg(45-a) = 2tg(2a) шаг за шагом.

Сначала вспомним, что тангенс можно выразить через синус и косинус:

tg(x) = sin(x) / cos(x).

Теперь применим формулу тангенса суммы и разности:

• tg(45 + a) = (tg(45) + tg(a)) / (1 - tg(45) * tg(a));
• tg(45 - a) = (tg(45) - tg(a)) / (1 + tg(45) * tg(a)).

Зная, что tg(45) = 1, мы можем подставить это значение в формулы:

• tg(45 + a) = (1 + tg(a)) / (1 - tg(a));
• tg(45 - a) = (1 - tg(a)) / (1 + tg(a)).

Теперь подставим эти выражения в левую часть нашего равенства:

tg(45 + a) - tg(45 - a) = [(1 + tg(a)) / (1 - tg(a))] - [(1 - tg(a)) / (1 + tg(a))].

Чтобы вычесть дроби, найдем общий знаменатель, который будет равен (1 - tg(a))(1 + tg(a)). Теперь, преобразуем выражение:

tg(45 + a) - tg(45 - a) = [(1 + tg(a)) * (1 + tg(a)) - (1 - tg(a)) * (1 - tg(a))] / [(1 - tg(a))(1 + tg(a))].

Упростим числитель:

• Числитель: (1 + 2tg(a) + tg^2(a)) - (1 - 2tg(a) + tg^2(a)) = 4tg(a);

Теперь подставим это обратно:

tg(45 + a) - tg(45 - a) = 4tg(a) / [(1 - tg(a))(1 + tg(a))].

Теперь упростим знаменатель:

(1 - tg(a))(1 + tg(a)) = 1 - tg^2(a) = cos^2(a) (по формуле Пифагора).

Теперь мы можем выразить нашу левую часть:

tg(45 + a) - tg(45 - a) = 4tg(a) / cos^2(a).

Теперь переходим к правой части равенства, 2tg(2a). Используем формулу тангенса двойного угла:

tg(2a) = 2tg(a) / (1 - tg^2(a)).

Тогда:

2tg(2a) = 2 * (2tg(a) / (1 - tg^2(a))) = 4tg(a) / (1 - tg^2(a)).

Теперь мы видим, что:

tg(45 + a) - tg(45 - a) = 4tg(a) / cos^2(a) = 2tg(2a).

Таким образом, мы доказали, что:

tg(45 + a) - tg(45 - a) = 2tg(2a).

Это и есть искомое равенство.