Как можно найти предел lim(x->0) f(x)/x, если известно, что предел lim(x->0) (x+1)f(x)/(x^2+2x) равен 1?

Математика 11 класс Пределы функций Новый

Для нахождения предела lim(x->0) f(x)/x на основе известного предела lim(x->0) (x+1)f(x)/(x^2+2x) = 1 необходимо выполнить несколько шагов, используя свойства пределов и алгебраические преобразования.

1. Анализ известного предела:

• Рассмотрим выражение (x+1)f(x)/(x^2+2x). При x стремящемся к 0, мы можем подставить x=0 в числитель и знаменатель.
• В числителе получаем (0+1)f(0) = f(0), а в знаменателе 0^2 + 2*0 = 0.
• Таким образом, предел принимает форму f(0)/0, что указывает на возможность бесконечности или неопределенности.

2. Упрощение выражения:

• Перепишем знаменатель: x^2 + 2x = x(x + 2).
• Таким образом, мы можем записать предел как lim(x->0) (x+1)f(x)/(x(x+2)).
• При x стремящемся к 0, мы можем отдельно рассмотреть поведение (x+1) и (x+2): (x+1) стремится к 1, (x+2) стремится к 2.

3. Вывод из предела:

• Поскольку предел равен 1, это означает, что lim(x->0) f(x)/(x(x+2)) = 1.
• Таким образом, мы можем выразить f(x) как f(x) = (x(x+2)) * g(x), где g(x) - функция, предел которой равен 1 при x стремящемся к 0.

4. Нахождение предела lim(x->0) f(x)/x:

• Подставим выражение для f(x): lim(x->0) f(x)/x = lim(x->0) [(x(x+2)) * g(x)]/x = lim(x->0) (x+2) * g(x).
• При x стремящемся к 0, (x+2) стремится к 2, а g(x) стремится к 1.
• Таким образом, получаем lim(x->0) f(x)/x = 2 * 1 = 2.

Таким образом, предел lim(x->0) f(x)/x равен 2.