Вопрос: Вычислите предел функции lim (x -> 0) (2 * tg(x) * sin^2(x) / x).

Математика 11 класс Пределы функций предел функции lim x -> 0 2 * tg(x) sin^2(x) x математика 11 класс вычисление предела тригонометрические функции предел при x стремящемся к нулю Новый

Чтобы вычислить предел функции lim (x -> 0) (2 * tg(x) * sin^2(x) / x), мы можем использовать некоторые известные пределы и свойства тригонометрических функций.

Шаг 1: Преобразуем функцию

Сначала вспомним, что тангенс можно выразить через синус и косинус:

tg(x) = sin(x) / cos(x).

Таким образом, мы можем переписать нашу функцию:

lim (x -> 0) (2 * (sin(x) / cos(x)) * sin^2(x) / x).

Это упростится до:

lim (x -> 0) (2 * sin^3(x) / (x * cos(x))).

Шаг 2: Разделим предел на две части

Теперь мы можем разделить предел на два отдельных предела:

lim (x -> 0) (2 * sin^3(x) / x) * lim (x -> 0) (1 / cos(x)).

Шаг 3: Вычислим первый предел

Для первого предела используем известный предел:

lim (x -> 0) (sin(x) / x) = 1.

Таким образом:

• lim (x -> 0) (sin^3(x) / x) = lim (x -> 0) (sin(x) / x) * sin^2(x) = 1 * 0 = 0.

Шаг 4: Вычислим второй предел

Теперь рассмотрим второй предел:

lim (x -> 0) (1 / cos(x)).

Поскольку cos(0) = 1, то:

• lim (x -> 0) (1 / cos(x)) = 1.

Шаг 5: Соберем все вместе

Теперь мы можем подставить результаты обратно в наш предел:

lim (x -> 0) (2 * sin^3(x) / (x * cos(x))) = 0 * 1 = 0.

Ответ: Предел функции равен 0.