Вычислить предел.

1. lim (1-2/n)^4n
2. lim (√5(n^5+2n+5))/(3n+7)

Математика 11 класс Пределы функций предел вычислить предел математика лимит функции предел функции анализ пределов математический анализ пределы пределы функций Новый

Давайте последовательно решим оба предела.

Первый предел: lim (1 - 2/n)^(4n)

1. Для начала заметим, что при n стремящемся к бесконечности, выражение 2/n стремится к 0. Таким образом, (1 - 2/n) стремится к 1.
2. Однако у нас есть степень 4n. Для более точного анализа воспользуемся известным пределом: lim (1 + x/n)^n = e^x.
3. Перепишем наш предел в более удобной форме:
4. lim (1 - 2/n)^(4n) = lim ((1 - 2/n)^(-n))^(-4) = (lim (1 - 2/n)^(n))^(-4).
5. Теперь мы можем использовать формулу для предела:
6. lim (1 - 2/n)^(n) = e^(-2).
7. Таким образом, наш предел становится:
8. (e^(-2))^(-4) = e^(8).

Ответ: lim (1 - 2/n)^(4n) = e^(8).

Второй предел: lim (√(5(n^5 + 2n + 5)))/(3n + 7)

1. Для удобства, давайте упростим выражение под корнем. При больших n доминирующим членом в числителе будет n^5. Поэтому мы можем выделить его:
2. √(5(n^5 + 2n + 5)) = √(5n^5(1 + 2/n^4 + 5/n^5)) = √(5n^5)√(1 + 2/n^4 + 5/n^5) = n^(5/2)√(5)√(1 + 2/n^4 + 5/n^5).
3. Теперь рассмотрим знаменатель 3n + 7. При больших n он также стремится к 3n.
4. Теперь можем записать предел в следующем виде:
5. lim (n^(5/2)√(5)√(1 + 2/n^4 + 5/n^5))/(3n + 7) = lim (n^(5/2)√(5)√(1 + 2/n^4 + 5/n^5))/(3n) = lim (√(5)/3) * n^(5/2 - 1) * √(1 + 2/n^4 + 5/n^5).
6. Это упрощается до lim (√(5)/3) * n^(3/2) * √(1 + 2/n^4 + 5/n^5).
7. Когда n стремится к бесконечности, √(1 + 2/n^4 + 5/n^5) стремится к √(1) = 1.
8. Таким образом, мы получаем, что этот предел стремится к бесконечности, так как n^(3/2) растет без ограничений.

Ответ: lim (√(5(n^5 + 2n + 5)))/(3n + 7) = бесконечность.