Чтобы найти промежутки монотонности функции y = x^3 - 3x^2 + 1, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их по порядку.

Для начала вычислим первую производную функции y по x. Это поможет нам определить, где функция возрастает или убывает.

• y' = d/dx (x^3 - 3x^2 + 1) = 3x^2 - 6x.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не определена. В нашем случае, производная определена для всех x, поэтому мы просто приравняем её к нулю:

• 3x^2 - 6x = 0.

Решим это уравнение:

• 3x(x - 2) = 0.
• Таким образом, x = 0 и x = 2.

Теперь мы разделим числовую ось на интервалы с учетом найденных критических точек: (-∞, 0),(0, 2) и (2, +∞).

Теперь проверим знак производной на каждом из этих интервалов:

• Выберем тестовые точки:
• Для интервала (-∞, 0),например x = -1:
• y'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 (положительное).
• Для интервала (0, 2),например x = 1:
• y'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 (отрицательное).
• Для интервала (2, +∞),например x = 3:
• y'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 (положительное).

Теперь мы можем сделать выводы о монотонности функции:

• На интервале (-∞, 0) функция возрастает (производная положительная).
• На интервале (0, 2) функция убывает (производная отрицательная).
• На интервале (2, +∞) функция снова возрастает (производная положительная).

Таким образом, промежутки монотонности функции y = x^3 - 3x^2 + 1:

• Функция возрастает на интервалах: (-∞, 0) и (2, +∞).
• Функция убывает на интервале: (0, 2).