Как определить промежутки монотонности функции у = x^4 - 4x - 6?

Математика 11 класс Промежутки монотонности функции промежутки монотонности функция производная x^4 - 4x - 6 математика 11 класс Новый

Чтобы определить промежутки монотонности функции у = x^4 - 4x - 6, необходимо выполнить несколько шагов. Мы будем искать производную функции, определять критические точки и анализировать знак производной. Давайте разберем процесс по шагам.

1. Найдите производную функции.

   Для начала вычислим первую производную функции у по x:

   у' = d/dx (x^4 - 4x - 6) = 4x^3 - 4.

2. Найдите критические точки.

   Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Установим производную равной нулю:

   4x^3 - 4 = 0.

   Решим это уравнение:

   • 4x^3 = 4;
   • x^3 = 1;
   • x = 1.

   Таким образом, у нас есть одна критическая точка: x = 1.

3. Определите интервалы для анализа.

   Теперь мы разделим числовую ось на интервалы, основываясь на критической точке:

   • Интервал 1: (-∞, 1);
   • Интервал 2: (1, +∞).
4. Проверьте знак производной на каждом интервале.

   Выберем тестовые точки из каждого интервала:

   • Для интервала (-∞, 1) можно взять x = 0:

   у'(0) = 4(0)^3 - 4 = -4 (отрицательное).

   • Для интервала (1, +∞) можно взять x = 2:

   у'(2) = 4(2)^3 - 4 = 32 - 4 = 28 (положительное).

5. Сделайте выводы о монотонности.

   На основании знака производной мы можем сделать следующие выводы:

   • На интервале (-∞, 1) функция у убывает, так как производная отрицательна.
   • На интервале (1, +∞) функция у возрастает, так как производная положительна.

Итак, мы определили промежутки монотонности функции:

• Функция у убывает на интервале (-∞, 1).
• Функция у возрастает на интервале (1, +∞).