Каковы интервалы монотонности функции f(x) = 4/x² - x²?

Математика 11 класс Промежутки монотонности функции интервалы монотонности функция f(x) 4/x² - x² анализ функции производная функции Новый

Чтобы определить интервалы монотонности функции f(x) = 4/x² - x², нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции f(x).

Для этого используем правило дифференцирования. Запишем функцию:

f(x) = 4/x² - x² = 4x^(-2) - x².

Теперь найдем производную:

f'(x) = -8x^(-3) - 2x = -8/x³ - 2x.

2. Найти критические точки.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Сначала найдем, где f'(x) = 0:

-8/x³ - 2x = 0.

Умножим уравнение на -x³ (при условии, что x ≠ 0):

8 + 2x^4 = 0.

Это уравнение не имеет действительных корней, так как 2x^4 всегда неотрицательно, а 8 - положительное число. Таким образом, критических точек нет.

3. Определить, где производная положительна или отрицательна.

Теперь рассмотрим знак производной f'(x) = -8/x³ - 2x:

• Для x > 0:

-8/x³ < 0 и -2x < 0, следовательно, f'(x) < 0.

• Для x < 0:

-8/x³ > 0 и -2x > 0, следовательно, f'(x) > 0.

4. Определить интервалы монотонности.

Теперь мы можем сделать вывод о монотонности функции:

• На интервале (-∞, 0) функция возрастает, так как f'(x) > 0.
• На интервале (0, +∞) функция убывает, так как f'(x) < 0.

Итак, интервалы монотонности функции f(x) = 4/x² - x²:

• Возрастает на интервале (-∞, 0).
• Убывает на интервале (0, +∞).