Определите, на каких промежутках функция:

f(x) = x^3 - 4x

является возрастающей или убывающей.

Математика 11 класс Промежутки монотонности функции функция промежутки возрастающая убывающая f(x) x^3 - 4x анализ функции производная математический анализ Новый

Чтобы определить, на каких промежутках функция f(x) = x^3 - 4x является возрастающей или убывающей, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции. Производная функции f(x) покажет, как изменяется функция на различных промежутках. Мы вычисляем производную:
• f'(x) = 3x^2 - 4
2. Найдите критические точки. Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Решим уравнение:
• 3x^2 - 4 = 0
• 3x^2 = 4
• x^2 = 4/3
• x = ±√(4/3) = ±(2/√3) = ±(2√3/3)
3. Определите знаки производной на промежутках. Нам нужно проверить знак производной f'(x) на интервалах, определенных критическими точками:
• Интервалы: (-∞, -2√3/3), (-2√3/3, 2√3/3), (2√3/3, +∞)
4. Выберите тестовые точки из каждого интервала и подставьте их в производную:
• Для интервала (-∞, -2√3/3): возьмем, например, x = -2. Тогда:
• f'(-2) = 3(-2)^2 - 4 = 3(4) - 4 = 12 - 4 = 8 (положительно)
• Для интервала (-2√3/3, 2√3/3): возьмем, например, x = 0. Тогда:
• f'(0) = 3(0)^2 - 4 = 0 - 4 = -4 (отрицательно)
• Для интервала (2√3/3, +∞): возьмем, например, x = 2. Тогда:
• f'(2) = 3(2)^2 - 4 = 3(4) - 4 = 12 - 4 = 8 (положительно)
5. Сделайте выводы:
• На интервале (-∞, -2√3/3) функция возрастает, так как производная положительна.
• На интервале (-2√3/3, 2√3/3) функция убывает, так как производная отрицательна.
• На интервале (2√3/3, +∞) функция снова возрастает, так как производная положительна.

Итак, функция f(x) = x^3 - 4x:

• Возрастает на промежутках: (-∞, -2√3/3) и (2√3/3, +∞).
• Убывает на промежутке: (-2√3/3, 2√3/3).