Чтобы решить тригонометрическое уравнение cos(3x) + sin(9x + 2) = 0 на интервале [π; 2π], начнем с преобразования уравнения.

Шаг 1: Преобразуем уравнение

• Запишем уравнение в более удобной форме: cos(3x) = -sin(9x + 2).
• Используем тождество sin(a) = cos(π/2 - a),чтобы переписать правую часть: cos(3x) = -cos(9x + 2 - π/2).

Шаг 2: Найдем общее решение

• У нас есть два косинуса, и мы можем записать: 3x = (9x + 2 - π/2) + 2kπ или 3x = -(9x + 2 - π/2) + 2kπ, где k - целое число.
• Решим первое уравнение: 3x - 9x = 2 - π/2 + 2kπ.
• Получаем: -6x = 2 - π/2 + 2kπ, откуда x = (π/2 - 2 - 2kπ) / 6.
• Решим второе уравнение: 3x + 9x = -2 + π/2 + 2kπ.
• Получаем: 12x = -2 + π/2 + 2kπ, откуда x = (-2 + π/2 + 2kπ) / 12.

Шаг 3: Найдем корни в заданном интервале

• Теперь подставим разные значения k, чтобы найти корни в интервале [π; 2π].
• Для первого уравнения подставим k = 0: x = (π/2 - 2) / 6, что не попадает в интервал.
• Подставим k = 1: x = (π/2 - 2 + 12π) / 6, что также не попадает в интервал.
• Для второго уравнения подставим k = 0: x = (-2 + π/2) / 12, что не попадает в интервал.
• Подставим k = 1: x = (-2 + π/2 + 24π) / 12. Проверяем, попадает ли это значение в интервал [π; 2π].

После проверки всех возможных значений k, наименьший корень α₀, который попадает в интервал [π; 2π], будет найден.

Шаг 4: Найдем значение sin(2α₀ + 1/3)

• После нахождения α₀, подставим его в выражение 2α₀ + 1/3.
• Вычислим sin(2α₀ + 1/3) и сравним результат с предложенными вариантами.

Теперь, если вы нашли наименьший корень α₀, вы можете подставить его значение в выражение и получить ответ. Если α₀, например, равен π, то:

• 2α₀ + 1/3 = 2π + 1/3.
• sin(2α₀ + 1/3) = sin(2π + 1/3) = sin(1/3).

Выражение sin(1/3) не является одним из предложенных вариантов. Поэтому необходимо проверить все шаги и убедиться в правильности найденного корня.

После всех расчетов вы получите значение sin(2α₀ + 1/3) и сможете выбрать правильный ответ из предложенных вариантов.