Как можно определить значение sin(α+β), если известно, что sinαcosβ = -1/4 и разность углов α и β равна -π/2?

Математика 11 класс Тригонометрические функции значение sin(α+β) sinαcosβ = -1/4 разность углов α и β математические функции Тригонометрия Углы решение уравнений синусы и косинусы Новый

Для того чтобы определить значение sin(α + β), воспользуемся формулой суммы синусов:

sin(α + β) = sinα * cosβ + cosα * sinβ

Из условия задачи нам известно, что:

• sinα * cosβ = -1/4
• α - β = -π/2

Из второго уравнения мы можем выразить β через α:

α = β - π/2

Теперь мы можем использовать тригонометрические функции для угла β:

• sin(α) = sin(β - π/2) = -cos(β)
• cos(α) = cos(β - π/2) = sin(β)

Теперь подставим эти выражения в формулу для sin(α + β):

sin(α + β) = sinα * cosβ + cosα * sinβ

Подставляем значения:

sin(α + β) = (-cos(β)) * cos(β) + (sin(β)) * sin(β)

Упрощаем это выражение:

sin(α + β) = -cos²(β) + sin²(β)

Используем известное тригонометрическое тождество:

sin²(β) + cos²(β) = 1

Таким образом, можно выразить cos²(β) через sin²(β):

cos²(β) = 1 - sin²(β)

Теперь подставим это обратно в наше выражение:

sin(α + β) = - (1 - sin²(β)) + sin²(β)

sin(α + β) = -1 + 2sin²(β)

Теперь нам нужно найти значение sin²(β). Мы знаем, что:

sinα * cosβ = -1/4

Подставим сюда выражение для sin(α):

-cos(β) * cos(β) = -1/4

cos²(β) = 1/4

Следовательно, cos(β) = ±1/2

Теперь найдем sin(β):

sin²(β) = 1 - cos²(β) = 1 - 1/4 = 3/4

Таким образом, sin(β) = ±√(3)/2

Теперь подставим значение sin²(β) в выражение для sin(α + β):

sin(α + β) = -1 + 2 * (3/4)

sin(α + β) = -1 + 3/2 = 1/2

Таким образом, значение sin(α + β) равно:

1/2