Чтобы найти производную функции f(x) = e^(-4cos(5x) + 2x + 1) в точке x = 0, нам нужно следовать нескольким шагам. Давайте разберем процесс подробно.

Мы будем использовать правило производной для сложной функции, которое называется правилом цепочки. Правило цепочки гласит, что если у нас есть функция g(h(x)),то ее производная будет равна g'(h(x)) * h'(x).

• В нашем случае g(u) = e^u, где u = -4cos(5x) + 2x + 1.
• Сначала найдем производную g(u): g'(u) = e^u.
• Теперь найдем производную u по x: u = -4cos(5x) + 2x + 1.

Для нахождения производной u, мы будем использовать правила дифференцирования:

• Производная -4cos(5x) равна -4 * (-sin(5x)) * 5 = 20sin(5x) (используем правило производной косинуса и цепное правило).
• Производная 2x равна 2.
• Производная константы 1 равна 0.

Теперь мы можем сложить эти производные:

u' = 20sin(5x) + 2.

Теперь мы можем найти производную f(x) с помощью правила цепочки:

f'(x) = g'(u) * u' = e^u * (20sin(5x) + 2).

Подставим обратно значение u:

f'(x) = e^(-4cos(5x) + 2x + 1) * (20sin(5x) + 2).

Теперь подставим x = 0 в нашу производную:

• Сначала найдем значение u при x = 0:
• u(0) = -4cos(5*0) + 2*0 + 1 = -4*1 + 0 + 1 = -3.
• Теперь подставим это значение в f'(x):
• f'(0) = e^(-3) * (20sin(0) + 2).
• Мы знаем, что sin(0) = 0, поэтому:
• f'(0) = e^(-3) * (20*0 + 2) = e^(-3) * 2.

Таким образом, производная функции f(x) = e^(-4cos(5x) + 2x + 1) в точке x = 0 равна 2e^(-3).