Как можно представить число 6 в виде суммы двух неотрицательных слагаемых, чтобы произведение их квадратов оказалось максимальным?

Математика 11 класс Оптимизация число 6 сумма двух слагаемых произведение квадратов неотрицательные слагаемые максимальное произведение Новый

Чтобы представить число 6 в виде суммы двух неотрицательных слагаемых и максимизировать произведение их квадратов, давайте обозначим два слагаемых как x и y. Таким образом, мы имеем:

x + y = 6

Теперь нам нужно максимизировать выражение:

P = x^2 * y^2

Мы можем упростить это выражение, используя первое уравнение. Подставим значение y из первого уравнения:

y = 6 - x

Теперь подставим это значение в выражение P:

P = x^2 * (6 - x)^2

Раскроем скобки:

P = x^2 * (36 - 12x + x^2) = 36x^2 - 12x^3 + x^4

Теперь, чтобы найти максимальное значение P, найдем производную P по x и приравняем её к нулю:

P' = 72x - 36x^2 + 4x^3

Приравняем производную к нулю:

4x^3 - 36x^2 + 72x = 0

Вынесем общий множитель:

4x(x^2 - 9x + 18) = 0

Теперь решим уравнение:

• Первый корень: x = 0
• Для второго уравнения x^2 - 9x + 18 = 0 используем формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4*1*18 = 81 - 72 = 9

Корни второго уравнения:

x = (9 ± √9) / 2 = (9 ± 3) / 2

• x1 = (12) / 2 = 6
• x2 = (6) / 2 = 3

Теперь у нас есть три возможных значения для x: 0, 3 и 6. Мы также помним, что y = 6 - x, поэтому соответствующие значения y будут:

• Если x = 0, то y = 6
• Если x = 3, то y = 3
• Если x = 6, то y = 0

Теперь найдем произведение квадратов для каждого случая:

• Для (0, 6): P = 0^2 * 6^2 = 0
• Для (3, 3): P = 3^2 * 3^2 = 9 * 9 = 81
• Для (6, 0): P = 6^2 * 0^2 = 0

Максимальное произведение квадратов достигается, когда x = 3 и y = 3. Таким образом, максимальное произведение квадратов двух слагаемых, сумма которых равна 6, равно 81.

Ответ: x = 3 и y = 3.