Какое минимальное количество материала нужно для создания сосуда объемом 8 литров, который имеет форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием и не имеет крышки?

Математика 11 класс Оптимизация минимальное количество материала сосуд объемом 8 литров прямоугольный параллелепипед квадратное основание задача по математике Новый

Чтобы найти минимальное количество материала, необходимого для создания сосуда объемом 8 литров в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием и без крышки, нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Определим переменные:

• Обозначим сторону квадратного основания как "a".
• Обозначим высоту сосуда как "h".

2. Запишем формулу для объема:

Объем V сосуда можно выразить как:

V = a^2 * h.

Так как объем сосуда равен 8 литров, что эквивалентно 8000 см³ (поскольку 1 литр = 1000 см³), мы имеем:

a^2 * h = 8000.

3. Запишем формулу для площади поверхности:

Площадь поверхности S сосуда без крышки можно выразить как:

S = a^2 + 4 * (a * h).

Здесь a^2 - площадь основания, а 4 * (a * h) - площадь боковых стенок.

4. Выразим h через a:

Из уравнения объема можно выразить h:

h = 8000 / a^2.

5. Подставим h в формулу площади поверхности:

Теперь подставим h в уравнение для площади:

S = a^2 + 4 * (a * (8000 / a^2)).

Упрощаем:

S = a^2 + 32000 / a.

6. Найдем производную для нахождения минимума:

Чтобы найти минимальное значение площади S, найдем производную S по a и приравняем её к нулю:

S' = 2a - 32000 / a^2.

Приравняем производную к нулю:

2a - 32000 / a^2 = 0.

7. Решим уравнение:

Умножим обе стороны на a^2:

2a^3 = 32000.

Теперь делим обе стороны на 2:

a^3 = 16000.

Теперь извлекаем кубический корень:

a = 40 см.

8. Найдем высоту h:

Теперь подставим значение a обратно в уравнение для h:

h = 8000 / (40^2) = 8000 / 1600 = 5 см.

9. Подсчитаем минимальную площадь поверхности:

Теперь подставим значения a и h в формулу для площади:

S = 40^2 + 4 * (40 * 5) = 1600 + 800 = 2400 см².

Таким образом, минимальное количество материала, необходимое для создания сосуда объемом 8 литров с указанными параметрами, составляет 2400 см².