Как найти наименьшую длину ломаной, проходящей через три точки с координатами (-8; -y), (0; y) и (8; 9)?

Математика 11 класс Оптимизация наименьшая длина ломаной три точки координаты математика 11 класс оптимизация пути Новый

Чтобы найти наименьшую длину ломаной, проходящей через три заданные точки, мы будем использовать метод, основанный на принципе минимизации расстояния. Рассмотрим точки A(-8; -y), B(0; y) и C(8; 9).

Шаг 1: Определение длины ломаной

Длина ломаной, состоящей из двух отрезков AB и BC, может быть выражена как сумма длин этих отрезков:

• Длина отрезка AB:

Сначала найдем расстояние между точками A и B. Расстояние между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2) определяется по формуле:

D = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Подставим координаты A и B:

D_AB = √((0 - (-8))² + (y - (-y))²) = √(8² + (y + y)²) = √(64 + 4y²)
• Длина отрезка BC:

Теперь найдем расстояние между точками B и C:

D_BC = √((8 - 0)² + (9 - y)²) = √(8² + (9 - y)²) = √(64 + (9 - y)²)

Шаг 2: Общая длина ломаной

Теперь мы можем выразить общую длину ломаной L как сумму длин отрезков:

L = D_AB + D_BC = √(64 + 4y²) + √(64 + (9 - y)²)

Шаг 3: Минимизация длины

Для нахождения минимального значения L, мы можем использовать метод производной. Но в данном случае проще будет рассмотреть геометрический подход: мы можем отразить точку C относительно оси y и найти точку C' с координатами (8; -9).

Теперь мы ищем прямую, соединяющую A и C', которая пересекает ось y в точке B. Длина отрезка AC' будет минимальна, когда точка B будет находиться на прямой AC'.

Шаг 4: Уравнение прямой

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A и C':

• Наклон (k) прямой:
k = (y_C' - y_A) / (x_C' - x_A) = (-9 - (-y)) / (8 - (-8)) = (-9 + y) / 16
• Уравнение прямой:

Используя точку A и наклон, уравнение примет вид:

y - (-y) = k(x + 8)

Шаг 5: Подбор y для минимизации

Решая это уравнение, мы можем найти значение y, при котором длина ломаной будет минимальной. В этом случае y будет равно 9, так как это значение соответствует наименьшей длине отрезка, проходящего через A и C'.

Шаг 6: Подсчет длины

Теперь подставим значение y = 9 в нашу формулу для длины:

L = √(64 + 4*9²) + √(64 + (9 - 9)²) = √(64 + 324) + √(64) = √388 + 8

Таким образом, наименьшая длина ломаной, проходящей через три заданные точки, будет равна:

L = √388 + 8

Это и будет ответом на задачу.