Каковы должны быть размеры сторон поперечного сечения балки, которую необходимо вырезать из круглого бревна диаметром 50 см, чтобы площадь сечения была максимальной?

Математика 11 класс Оптимизация поперечное сечение балки размеры сторон балки максимальная площадь сечения круглый бревно 50 см задачи по математике 11 класс Новый

Для нахождения максимальной площади поперечного сечения балки, вырезаемой из круглого бревна, нам нужно рассмотреть геометрию и ограничения, связанные с заданным диаметром.

Давайте обозначим:

• D - диаметр бревна, который равен 50 см.
• r - радиус бревна, который равен D/2 = 25 см.
• a - ширина балки (одна сторона прямоугольного сечения).
• b - высота балки (вторая сторона прямоугольного сечения).

Сначала мы должны учесть, что ширина и высота балки должны укладываться в круг с радиусом r. Это означает, что:

Согласно теореме Пифагора, для прямоугольника, вписанного в круг, выполняется следующее уравнение:

a² + b² = (2r)²

Где 2r - это диаметр круга, равный 50 см.

Таким образом, мы имеем:

a² + b² = 50² = 2500.

Теперь, чтобы максимизировать площадь поперечного сечения балки (S = a * b), мы можем воспользоваться методом Лагранжа или просто выразить одну переменную через другую и найти максимум функции.

Выразим b через a:

b = √(2500 - a²).

Теперь подставим это значение в формулу для площади:

S = a * b = a * √(2500 - a²).

Чтобы найти максимальное значение площади, мы можем взять производную S по a и приравнять её к нулю:

1. Найдем производную S:

S' = √(2500 - a²) + a * (1/2)(2500 - a²)^(-1/2)(-2a).

2. Упростим производную:

S' = √(2500 - a²) - (a² / √(2500 - a²)).

3. Приравняем производную к нулю:

√(2500 - a²) = (a² / √(2500 - a²)).

4. Умножим обе стороны на √(2500 - a²):

2500 - a² = a².

5. Переносим a² на одну сторону:

2500 = 2a².

6. Разделим обе стороны на 2:

a² = 1250.

7. Найдем a:

a = √1250 ≈ 35.36 см.

Теперь подставим значение a в уравнение для b:

b = √(2500 - 1250) = √1250 ≈ 35.36 см.

Таким образом, для максимальной площади поперечного сечения балки, стороны должны быть равны:

a ≈ 35.36 см и b ≈ 35.36 см.

Это означает, что оптимальная форма поперечного сечения балки будет квадратом со сторонами примерно 35.36 см.