Как можно продолжить решение предела: lim (x → 0) (sin²(3x) - sin²(x)) / x² = 0/0 = ((sin(3x) - sin(x))(sin(3x) + sin(x))) / x² ?

Математика 11 класс Пределы функций предел решение предела sin² lim x → 0 sin(3x) sin(x) дробь 0/0 математика 11 класс Новый

Для продолжения решения предела lim (x → 0) (sin²(3x) - sin²(x)) / x², который имеет неопределенность вида 0/0, мы можем воспользоваться формулой разности квадратов, как вы уже указали.

Мы имеем:

lim (x → 0) (sin²(3x) - sin²(x)) / x² = lim (x → 0) ((sin(3x) - sin(x))(sin(3x) + sin(x))) / x²

Теперь давайте рассмотрим каждую часть этого произведения отдельно. Сначала упростим выражение sin(3x) - sin(x) с помощью формулы для разности синусов:

sin(a) - sin(b) = 2 * cos((a + b)/2) * sin((a - b)/2)

В нашем случае:

• a = 3x
• b = x

Тогда:

sin(3x) - sin(x) = 2 * cos((3x + x)/2) * sin((3x - x)/2) = 2 * cos(2x) * sin(x)

Теперь подставим это обратно в предел:

lim (x → 0) ((2 * cos(2x) * sin(x))(sin(3x) + sin(x))) / x²

Теперь нам нужно упростить выражение sin(3x) + sin(x). Используя малые углы, мы можем заметить, что при x → 0:

sin(3x) ≈ 3x и sin(x) ≈ x

Таким образом:

sin(3x) + sin(x) ≈ 3x + x = 4x

Теперь подставим это в предел:

lim (x → 0) (2 * cos(2x) * sin(x) * 4x) / x²

Это можно упростить до:

lim (x → 0) (8 * cos(2x) * sin(x)) / x

Теперь мы знаем, что при x → 0, cos(2x) стремится к 1 и sin(x) / x стремится к 1. Поэтому:

lim (x → 0) (8 * cos(2x) * sin(x)) / x = 8 * 1 * 1 = 8

Таким образом, предел равен:

8

Ответ: lim (x → 0) (sin²(3x) - sin²(x)) / x² = 8.