Для решения интеграла ∫ (sqrt(x^2 + 1))/x dx мы можем использовать метод подстановки. Давайте подробно разберем шаги этого процесса.

1. Подбор подстановки: В данном случае мы видим, что подкоренное выражение sqrt(x^2 + 1) может быть связано с гиперболическими функциями. Мы можем воспользоваться тригонометрической подстановкой, но здесь более удобно использовать гиперболическую подстановку. Мы сделаем замену:
   • x = sinh(t), тогда dx = cosh(t) dt.
2. Подстановка в интеграл: Теперь подставим x и dx в наш интеграл:
   • sqrt(x^2 + 1) = sqrt(sinh^2(t) + 1) = sqrt(cosh^2(t)) = cosh(t).
   • Таким образом, интеграл становится: ∫ (cosh(t) / sinh(t)) * cosh(t) dt = ∫ cosh^2(t) / sinh(t) dt.
3. Упрощение интеграла: Мы можем записать cosh^2(t) через sinh(t):
   • cosh^2(t) = sinh^2(t) + 1.
   • Тогда интеграл можно разбить на два: ∫ (sinh^2(t) + 1) / sinh(t) dt = ∫ sinh(t) dt + ∫ 1/sinh(t) dt.
4. Интегрирование: Теперь мы можем интегрировать каждую часть отдельно:
   • ∫ sinh(t) dt = cosh(t) + C1.
   • ∫ 1/sinh(t) dt = ln|sinh(t)| + C2.
5. Объединение результатов: Теперь мы можем объединить результаты интегрирования: ∫ (sqrt(x^2 + 1))/x dx = cosh(t) + ln|sinh(t)| + C.
6. Возвращение к переменной x: Теперь вернемся к переменной x. Напомним, что мы сделали подстановку x = sinh(t). Следовательно:
   • cosh(t) = sqrt(sinh^2(t) + 1) = sqrt(x^2 + 1).
   • sinh(t) = x.
   Таким образом, окончательный ответ будет: ∫ (sqrt(x^2 + 1))/x dx = sqrt(x^2 + 1) + ln|x| + C.

Таким образом, мы успешно решили интеграл, используя метод подстановки и гиперболические функции. Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то осталось непонятным, не стесняйтесь спрашивать!