Как можно решить интеграл ∫ (x / √(1 + x²)) dx?

Математика 11 класс Интегралы интеграл решение интеграла математика 11 класс интеграл x / √(1 + x²) вычисление интеграла Новый

Для решения интеграла ∫ (x / √(1 + x²)) dx мы можем использовать метод подстановки. Давайте рассмотрим шаги, которые помогут нам решить этот интеграл.

1. Выбор подстановки: Мы заметим, что в нашем интеграле присутствует выражение √(1 + x²). Это может указать на то, что мы можем использовать тригонометрическую или гиперболическую подстановку. В данном случае, мы воспользуемся подстановкой:
• Пусть u = 1 + x².
2. Нахождение производной: Теперь найдем производную u по x:
• du/dx = 2x, следовательно, dx = du / (2x).
3. Замена переменных в интеграле: Теперь подставим u и dx в наш интеграл:
• Интеграл станет: ∫ (x / √u) * (du / (2x)).
• Упростим выражение: ∫ (1 / (2√u)) du.
4. Решение нового интеграла: Теперь мы можем решить интеграл ∫ (1 / (2√u)) du:
• Это интеграл стандартной формы, который равен (1/2) * 2√u + C = √u + C.
5. Возвращение к исходной переменной: Теперь подставим обратно значение u:
• u = 1 + x², следовательно, √u = √(1 + x²).
6. Записываем окончательный ответ: Таким образом, мы получаем:
• ∫ (x / √(1 + x²)) dx = √(1 + x²) + C, где C - произвольная константа интегрирования.

Итак, окончательный ответ на интеграл ∫ (x / √(1 + x²)) dx равен √(1 + x²) + C.