Как можно решить тригонометрическое уравнение: sin2x = √(sin3x + sin³x)?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения тригонометрическое уравнение решение уравнения sin2x sin3x математические задачи 11 класс математика Новый

Решение тригонометрического уравнения sin(2x) = √(sin(3x) + sin³(x)) можно выполнить в несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Сначала упростим правую часть уравнения. Мы знаем, что sin(3x) можно выразить через sin(x) и cos(x) с помощью формулы тройного угла:

   • sin(3x) = 3sin(x) - 4sin³(x)

2. Подставим это выражение в уравнение:

   sin(2x) = √(3sin(x) - 4sin³(x) + sin³(x))

   Это упрощается до:

   sin(2x) = √(3sin(x) - 3sin³(x))

   или:

   sin(2x) = √(3sin(x)(1 - sin²(x)))

   Так как 1 - sin²(x) = cos²(x), мы можем записать:

   sin(2x) = √(3sin(x)cos²(x))

3. Теперь вспомним, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Подставим это в уравнение:

   2sin(x)cos(x) = √(3sin(x)cos²(x))

4. Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

   (2sin(x)cos(x))² = 3sin(x)cos²(x)

   Это дает:

   4sin²(x)cos²(x) = 3sin(x)cos²(x)

5. Теперь мы можем вынести cos²(x) за скобки:

   cos²(x)(4sin²(x) - 3sin(x)) = 0

6. Теперь у нас есть два множителя:

   • cos²(x) = 0
   • 4sin²(x) - 3sin(x) = 0

7. Решим первое уравнение:

   cos²(x) = 0 дает cos(x) = 0, что означает x = (2k + 1)π/2, где k - целое число.

8. Теперь решим второе уравнение:

   4sin²(x) - 3sin(x) = 0

   Это можно факторизовать:

   sin(x)(4sin(x) - 3) = 0

   Отсюда получаем два случая:

   • sin(x) = 0, что дает x = kπ, где k - целое число.
   • 4sin(x) - 3 = 0, что дает sin(x) = 3/4. Это значение можно найти, используя арксинус: x = arcsin(3/4) + 2kπ и x = π - arcsin(3/4) + 2kπ.

Таким образом, все решения уравнения:

• x = (2k + 1)π/2,
• x = kπ,
• x = arcsin(3/4) + 2kπ,
• x = π - arcsin(3/4) + 2kπ,

где k - целое число.