Как можно решить тригонометрическое уравнение: |tgx|=cosx?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения решение тригонометрического уравнения |tgx|=cosx математика 11 класс Тригонометрия уравнения методы решения уравнений Новый

Решение тригонометрического уравнения |tgx| = cosx можно разделить на несколько шагов. Давайте разберем их подробно.

1. Определение функций:

   Сначала вспомним, что tgx = sinx / cosx. Таким образом, уравнение |tgx| = cosx можно переписать как:

   |sinx / cosx| = cosx.

2. Рассмотрение двух случаев:

   Поскольку у нас есть модуль, мы можем рассмотреть два случая:

   • Случай 1: tgx = cosx, что эквивалентно sinx / cosx = cosx.
   • Случай 2: tgx = -cosx, что эквивалентно sinx / cosx = -cosx.
3. Решение первого случая:

   Решим уравнение sinx = cos²x. Умножим обе стороны на cosx (при условии, что cosx ≠ 0):

   sinx * cosx = cos²x * cosx.

   Теперь это можно записать как:

   sinx = cos²x.

   Используя основное тригонометрическое тождество sin²x + cos²x = 1, мы можем выразить sinx через cosx:

   sinx = √(1 - cos²x).

   Теперь у нас есть два уравнения:

   √(1 - cos²x) = cos²x.

   Возведем обе стороны в квадрат:

   1 - cos²x = cos^4x.

   Переносим все в одну сторону:

   cos^4x + cos²x - 1 = 0.

   Обозначим y = cos²x, тогда уравнение становится:

   y² + y - 1 = 0.

   Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

   D = 1² - 4 * 1 * (-1) = 5.

   Находим корни:

   y₁ = (-1 + √5) / 2, y₂ = (-1 - √5) / 2.

   Поскольку cos²x должно быть неотрицательным, рассматриваем только y₁.

4. Решение второго случая:

   Решим уравнение sinx = -cos²x. Аналогично, умножим обе стороны на cosx:

   sinx * cosx = -cos³x.

   Получаем:

   sinx = -cos²x.

   Аналогично, подставляем sinx через cosx и получаем:

   √(1 - cos²x) = -cos²x.

   Здесь мы видим, что √(1 - cos²x) не может быть отрицательным, поэтому этот случай не дает решений.

5. Итог:

   Теперь мы имеем только одно уравнение для первого случая:

   cos²x = (-1 + √5) / 2.

   Решаем это уравнение для x, используя арккосинус:

   x = arccos(√((-1 + √5) / 2)).

   Не забудьте учесть периодичность тригонометрических функций и возможные дополнительные решения в пределах заданного интервала.

Таким образом, мы нашли решение тригонометрического уравнения |tgx| = cosx. Не забудьте проверить полученные значения x в исходном уравнении!