Как можно решить уравнение 3 cos²x - 3 sin²x - 7 sinx = 0?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение решение уравнения Тригонометрия cos sin математический анализ 11 класс математика Новый

Для решения уравнения 3 cos²x - 3 sin²x - 7 sinx = 0, давайте сначала преобразуем его. Мы знаем, что cos²x можно выразить через sin²x, используя тригонометрическую тождество:

cos²x = 1 - sin²x.

Теперь подставим это выражение в уравнение:

1. Заменяем cos²x в уравнении:
2. 3(1 - sin²x) - 3sin²x - 7sinx = 0.

Теперь раскроем скобки:

1. 3 - 3sin²x - 3sin²x - 7sinx = 0.
2. Это упрощается до: 3 - 6sin²x - 7sinx = 0.

Теперь перенесем все члены в одну сторону уравнения:

1. -6sin²x - 7sinx + 3 = 0.

Теперь мы можем умножить уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

1. 6sin²x + 7sinx - 3 = 0.

Теперь это квадратное уравнение относительно sinx. Мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения ax² + bx + c = 0, где a = 6, b = 7, c = -3:

1. Находим дискриминант D:
2. D = b² - 4ac = 7² - 4 * 6 * (-3) = 49 + 72 = 121.
3. Так как D > 0, уравнение имеет два различных корня.

Теперь найдем корни, используя формулу:

1. sinx₁ = (-b + √D) / (2a) = (-7 + 11) / 12 = 4 / 12 = 1/3.
2. sinx₂ = (-b - √D) / (2a) = (-7 - 11) / 12 = -18 / 12 = -3/2 (это значение не подходит, так как синус не может быть меньше -1).

Таким образом, мы имеем только один корень:

sinx = 1/3.

Теперь найдем углы x, для которых sinx = 1/3. Это происходит в первом и втором квадрантах:

1. x₁ = arcsin(1/3) (первый квадрант).
2. x₂ = π - arcsin(1/3) (второй квадрант).

Не забудьте учесть, что синус имеет период 2π, поэтому общее решение будет:

x = arcsin(1/3) + 2kπ и x = π - arcsin(1/3) + 2kπ, где k - любое целое число.

Таким образом, мы нашли все решения уравнения 3 cos²x - 3 sin²x - 7 sinx = 0.