Как можно решить уравнение 3 cos²x - 3 sin²x - 7 sinx = 0?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение решение уравнения Тригонометрия cos sin математические методы 11 класс математика алгебра уравнения с синусом уравнения с косинусом Новый

Давайте решим уравнение 3 cos²x - 3 sin²x - 7 sinx = 0 шаг за шагом.

Шаг 1: Преобразуем уравнение.

Мы можем использовать основное тригонометрическое тождество: cos²x = 1 - sin²x. Подставим это в уравнение:

• 3(1 - sin²x) - 3sin²x - 7sinx = 0

Теперь раскроем скобки:

• 3 - 3sin²x - 3sin²x - 7sinx = 0

Соберем подобные слагаемые:

• 3 - 6sin²x - 7sinx = 0

Теперь мы можем привести уравнение к стандартному виду:

• -6sin²x - 7sinx + 3 = 0

Умножим всё уравнение на -1 для удобства:

• 6sin²x + 7sinx - 3 = 0

Шаг 2: Решим квадратное уравнение.

Теперь у нас есть квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0, где:

• a = 6
• b = 7
• c = -3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

• sinx = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Подставим значения a, b и c:

• sinx = (-7 ± √(7² - 4 * 6 * (-3))) / (2 * 6)

Сначала найдем дискриминант:

• D = 7² - 4 * 6 * (-3) = 49 + 72 = 121

Теперь подставим дискриминант обратно в формулу:

• sinx = (-7 ± √121) / 12
• sinx = (-7 ± 11) / 12

Теперь найдем два корня:

• sinx₁ = (-7 + 11) / 12 = 4 / 12 = 1/3
• sinx₂ = (-7 - 11) / 12 = -18 / 12 = -3/2

Шаг 3: Найдем значения x.

Первый корень sinx₁ = 1/3. Теперь найдем x:

• x = arcsin(1/3)

Это значение x находится в первой и второй четвертях:

• x₁ = arcsin(1/3)
• x₂ = π - arcsin(1/3)

Теперь рассмотрим второй корень sinx₂ = -3/2. Однако, поскольку значение синуса не может превышать 1 по модулю, этот корень не имеет решения.

Шаг 4: Запишем общий ответ.

Таким образом, единственные решения уравнения:

• x = arcsin(1/3) + 2kπ, k ∈ Z
• x = π - arcsin(1/3) + 2kπ, k ∈ Z

Где k - любое целое число.

На этом мы закончили решение уравнения. Если есть вопросы, не стесняйтесь спрашивать!