Как можно решить уравнение 3sin^2x - sinx - 5cos^2x = 2?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение 3sin^2x sinx 5cos^2x решение уравнения математика 11 класс Новый

Чтобы решить уравнение 3sin^2x - sinx - 5cos^2x = 2, начнем с преобразования его в более удобный вид. Мы знаем, что sin^2x + cos^2x = 1. Это позволяет выразить cos^2x через sin^2x:

• cos^2x = 1 - sin^2x.

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

3sin^2x - sinx - 5(1 - sin^2x) = 2.

Раскроем скобки:

• 3sin^2x - sinx - 5 + 5sin^2x = 2.

Теперь объединим подобные слагаемые:

• (3sin^2x + 5sin^2x) - sinx - 5 = 2,
• 8sin^2x - sinx - 5 = 2.

Переносим 2 на левую сторону уравнения:

• 8sin^2x - sinx - 5 - 2 = 0,
• 8sin^2x - sinx - 7 = 0.

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно sinx:

8sin^2x - sinx - 7 = 0.

Решим его с помощью формулы для решения квадратных уравнений:

• ax^2 + bx + c = 0, где a = 8, b = -1, c = -7.

Сначала найдем дискриминант D:

D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 8 * (-7) = 1 + 224 = 225.

Теперь находим корни уравнения:

• sinx = (-b ± √D) / (2a).

Подставляем значения:

• sinx = (1 ± √225) / (2 * 8) = (1 ± 15) / 16.

Теперь найдем два возможных значения для sinx:

• sinx = (1 + 15) / 16 = 16 / 16 = 1,
• sinx = (1 - 15) / 16 = -14 / 16 = -7/8.

Теперь рассмотрим каждое из значений:

1. Для sinx = 1:

Это значение достигается при x = π/2 + 2kπ, где k - целое число.

2. Для sinx = -7/8:

Для этого значения найдем углы. Используем арксинус:

• x = arcsin(-7/8) + 2kπ,
• x = π - arcsin(-7/8) + 2kπ.

Таким образом, мы нашли все решения уравнения 3sin^2x - sinx - 5cos^2x = 2:

• x = π/2 + 2kπ,
• x = arcsin(-7/8) + 2kπ,
• x = π - arcsin(-7/8) + 2kπ.

Где k - любое целое число.