Как можно решить уравнение cos²a/(1+sina+sina)=1 и (1+ctg²a)(1-sin²a)=ctg²a?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения cos2a 1+sina ctg2a sin2a математические уравнения Тригонометрия алгебра 11 класс математика Новый

Решим каждое из уравнений по отдельности.

1. Уравнение: cos²a/(1+sina+sina)=1

Для начала упростим данное уравнение. Мы можем переписать его следующим образом:

• cos²a = 1 + sina + sina.
• cos²a = 1 + 2sina.

Теперь воспользуемся известной тригонометрической идентичностью: cos²a + sin²a = 1. Из этой идентичности выразим cos²a:

• cos²a = 1 - sin²a.

Теперь подставим это выражение в уравнение:

• 1 - sin²a = 1 + 2sina.

Упростим уравнение:

• -sin²a = 2sina.

Переносим все члены в одну сторону:

• sin²a + 2sina = 0.

Теперь можно вынести общий множитель:

• sinа(sinа + 2) = 0.

Теперь решим это уравнение:

1. sinа = 0, что дает a = nπ, где n - целое число.
2. sinа + 2 = 0, что не имеет решений, так как sinа не может быть меньше -1.

Таким образом, решения первого уравнения: a = nπ.

2. Уравнение: (1+ctg²a)(1-sin²a)=ctg²a

Сначала упростим это уравнение. Воспользуемся тем, что ctg²a = cos²a/sin²a и 1 - sin²a = cos²a:

• (1 + cos²a/sin²a)(cos²a) = cos²a/sin²a.

Умножим обе части на sin²a, чтобы избавиться от дробей:

• (sin²a + cos²a)(cos²a) = cos²a.

По тригонометрической идентичности sin²a + cos²a = 1, подставим это в уравнение:

• 1 * cos²a = cos²a.

Это уравнение верно для всех значений a, кроме тех, где cos²a = 0, то есть a = (2n + 1)π/2, где n - целое число.

Таким образом, решения второго уравнения: a может принимать любое значение, кроме (2n + 1)π/2.

В итоге, у нас есть:

• Для первого уравнения: a = nπ.
• Для второго уравнения: a ≠ (2n + 1)π/2.

Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать!