Как можно решить уравнение ctg2x=√3?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение ctg2x √3 решение математика 11 класс Тригонометрия методы решения угловые функции равенства Новый

Для решения уравнения ctg(2x) = √3 необходимо воспользоваться определением котангенса и свойствами тригонометрических функций.

Котангенс угла определяется как отношение косинуса к синусу:

ctg(θ) = cos(θ) / sin(θ)

Таким образом, уравнение ctg(2x) = √3 можно переписать в виде:

cos(2x) / sin(2x) = √3

Это уравнение можно преобразовать, умножив обе стороны на sin(2x) (при условии, что sin(2x) ≠ 0):

cos(2x) = √3 * sin(2x)

Теперь мы можем воспользоваться тригонометрическим тождеством:

cos(2x) = sin(π/2 - 2x)

Следовательно, у нас есть:

sin(π/2 - 2x) = √3 * sin(2x)

Чтобы решить это уравнение, можно использовать метод подстановки. Для этого найдем такие углы, при которых sin(θ) = √3 / 2. Это происходит при:

• θ = π/3 + 2kπ (где k - целое число)
• θ = 2π/3 + 2kπ

Таким образом, мы можем записать два уравнения:

1. π/2 - 2x = π/3 + 2kπ
2. π/2 - 2x = 2π/3 + 2kπ

Теперь решим первое уравнение:

π/2 - 2x = π/3 + 2kπ

Переносим 2x на правую сторону:

2x = π/2 - π/3 - 2kπ

Приводим к общему знаменателю:

2x = (3π/6 - 2π/6) - 2kπ

2x = π/6 - 2kπ

Делим обе стороны на 2:

x = π/12 - kπ

Теперь решим второе уравнение:

π/2 - 2x = 2π/3 + 2kπ

Переносим 2x на правую сторону:

2x = π/2 - 2π/3 - 2kπ

Приводим к общему знаменателю:

2x = (3π/6 - 4π/6) - 2kπ

2x = -π/6 - 2kπ

Делим обе стороны на 2:

x = -π/12 - kπ

Таким образом, общее решение уравнения ctg(2x) = √3 можно записать в виде:

• x = π/12 - kπ, где k - целое число
• x = -π/12 - kπ, где k - целое число

Это и есть все возможные решения данного тригонометрического уравнения.