Как можно решить уравнение sinx + cosx + 2sinxcosx = 1?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения sinx cosX тригонометрические функции математические уравнения 11 класс математика методы решения уравнений алгебраические преобразования Новый

Для решения уравнения sinx + cosx + 2sinxcosx = 1 начнем с преобразования выражения. Заметим, что 2sinxcosx можно заменить на sin(2x) по формуле двойного угла. Однако в данном случае удобнее будет использовать другую замену.

Давайте воспользуемся тригонометрической идентичностью. Мы можем выразить sinx + cosx через √2:

• sinx + cosx = √2 * sin(x + π/4).

Теперь перепишем уравнение, используя эту замену:

sinx + cosx + 2sinxcosx = 1 можно записать как:

• √2 * sin(x + π/4) + sin(2x) = 1.

Теперь у нас есть два термина: √2 * sin(x + π/4) и sin(2x). Однако, чтобы упростить решение, давайте воспользуемся другой заменой:

Обозначим t = sinx + cosx. Тогда у нас есть:

• t + 2sinxcosx = 1.
• 2sinxcosx = sin(2x).

Теперь мы знаем, что:

• sin(2x) = 2sinxcosx = t^2 - 1.

Таким образом, уравнение можно переписать как:

• t + (t^2 - 1) = 1.

Упрощаем это уравнение:

• t + t^2 - 1 = 1,
• t^2 + t - 2 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение:

• t^2 + t - 2 = (t - 1)(t + 2) = 0.

Таким образом, у нас есть два решения:

• t - 1 = 0 → t = 1,
• t + 2 = 0 → t = -2.

Теперь вернемся к нашему определению t = sinx + cosx. Мы знаем, что:

• sinx + cosx = 1.
• sinx + cosx = -2 (это невозможно, так как sinx и cosx могут принимать значения только в диапазоне от -√2 до √2).

Решим первое уравнение:

sinx + cosx = 1 можно переписать как:

• √2 * sin(x + π/4) = 1.

Следовательно:

• sin(x + π/4) = 1/√2.

Это означает, что:

• x + π/4 = π/4 + 2kπ, k ∈ Z,
• x + π/4 = 3π/4 + 2kπ, k ∈ Z.

Решая эти уравнения, получаем:

• x = 0 + 2kπ, k ∈ Z,
• x = π/2 + 2kπ, k ∈ Z.

Таким образом, общее решение уравнения sinx + cosx + 2sinxcosx = 1 будет:

• x = 0 + 2kπ, k ∈ Z,
• x = π/2 + 2kπ, k ∈ Z.