Как можно решить уравнение tg(pi/4 - alpha) = ctg(pi/4 + alpha)?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения математика 11 класс tg и ctg тригонометрические функции уравнения с углами Новый

Чтобы решить уравнение tg(pi/4 - alpha) = ctg(pi/4 + alpha), начнем с преобразования обеих сторон уравнения.

Сначала вспомним, что ctg(x) можно выразить через tg(x):

• ctg(x) = 1/tg(x).

Таким образом, наше уравнение можно переписать следующим образом:

tg(pi/4 - alpha) = 1/tg(pi/4 + alpha).

Теперь умножим обе стороны на tg(pi/4 + alpha), чтобы избавиться от деления:

tg(pi/4 - alpha) * tg(pi/4 + alpha) = 1.

Далее воспользуемся формулой для произведения тангенсов:

• tg(A - B) * tg(A + B) = (tg^2(A) - tg^2(B)) / (1 + tg^2(A) * tg^2(B)).

В нашем случае A = pi/4 и B = alpha. Мы знаем, что tg(pi/4) = 1. Подставим это значение:

tg(pi/4 - alpha) * tg(pi/4 + alpha) = (1 - tg^2(alpha)) / (1 + tg^2(alpha)) = 1.

Теперь у нас есть уравнение:

(1 - tg^2(alpha)) / (1 + tg^2(alpha)) = 1.

Умножим обе стороны на (1 + tg^2(alpha)):

1 - tg^2(alpha) = 1 + tg^2(alpha).

Теперь соберем все члены с tg(alpha) в одну сторону:

1 - 1 = tg^2(alpha) + tg^2(alpha).

0 = 2 * tg^2(alpha).

Это уравнение имеет решение:

• tg^2(alpha) = 0.

Таким образом, tg(alpha) = 0, что приводит к:

alpha = n * pi, где n - целое число.

Итак, общее решение уравнения tg(pi/4 - alpha) = ctg(pi/4 + alpha):

alpha = n * pi, где n - любое целое число.