Чтобы решить уравнение x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 3x + 1 = 0, мы можем воспользоваться методом поиска корней и разложения на множители. Давайте рассмотрим шаги решения.

1. Проверка простых корней: Начнем с проверки целых корней уравнения. Используем теорему о рациональных корнях, которая говорит, что если уравнение имеет рациональный корень, то он может быть в виде p/q, где p - делители свободного члена, а q - делители старшего коэффициента. В нашем случае свободный член равен 1, а старший коэффициент тоже 1. Таким образом, возможные рациональные корни: ±1.
2. Проверка корней: Подставим x = 1:
   • x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 3x + 1 = 1 - 3 + 4 - 3 + 1 = 0.

   Таким образом, x = 1 является корнем уравнения.

3. Деление многочлена: Теперь мы можем разделить исходный многочлен на (x - 1) с помощью деления многочленов или синтетического деления. После деления мы получим:
• x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 3x + 1 = (x - 1)(x^3 - 2x^2 + 2x - 1).
4. Решение кубического уравнения: Теперь нам нужно решить кубическое уравнение x^3 - 2x^2 + 2x - 1 = 0. Мы можем снова проверить целые корни. Проверим x = 1:
• 1 - 2 + 2 - 1 = 0. Таким образом, x = 1 также является корнем кубического уравнения.
5. Снова делим: Разделим x^3 - 2x^2 + 2x - 1 на (x - 1):
   • x^3 - 2x^2 + 2x - 1 = (x - 1)(x^2 - x + 1).
6. Решение квадратного уравнения: Теперь решим квадратное уравнение x^2 - x + 1 = 0. Для этого используем дискриминант:
• D = (-1)^2 - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3.

Так как дискриминант отрицательный, у этого уравнения нет действительных корней. Таким образом, его корни будут комплексными.

7. Запись всех корней: Мы нашли один действительный корень x = 1, и два комплексных корня из квадратного уравнения, которые можно найти по формуле:
   • x = (1 ± i√3) / 2.

Таким образом, все корни уравнения x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 3x + 1 = 0 следующие:

• x = 1 (действительный корень),
• x = (1 + i√3) / 2 (комплексный корень),
• x = (1 - i√3) / 2 (комплексный корень).