Как найти корни уравнения x⁴ + x³ + x² - x - 2 = 0?

Математика 11 класс Уравнения высших степеней корни уравнения уравнение x⁴ + x³ + x² - x - 2 решение уравнения математические корни методы нахождения корней Новый

Чтобы найти корни уравнения x⁴ + x³ + x² - x - 2 = 0, мы можем использовать несколько методов, включая метод подбора, деление многочленов и теорему Виета. Давайте рассмотрим пошагово, как подойти к решению этого уравнения.

Шаг 1: Попробуем найти рациональные корни.

Согласно теореме о рациональных корнях, возможные рациональные корни уравнения могут быть представлены в виде дробей, где числитель - делители свободного члена (-2), а знаменатель - делители старшего коэффициента (1).

• Делители -2: ±1, ±2

Таким образом, возможные рациональные корни: ±1, ±2.

Шаг 2: Подставим возможные корни в уравнение.

Мы начнем с подбора корней, начиная с 1:

• Подставим x = 1:

1⁴ + 1³ + 1² - 1 - 2 = 1 + 1 + 1 - 1 - 2 = 0. Это корень.

• Теперь подставим x = -1:

(-1)⁴ + (-1)³ + (-1)² - (-1) - 2 = 1 - 1 + 1 + 1 - 2 = 0. Это корень.

• Подставим x = 2:

2⁴ + 2³ + 2² - 2 - 2 = 16 + 8 + 4 - 2 - 2 = 24. Это не корень.

• Подставим x = -2:

(-2)⁴ + (-2)³ + (-2)² - (-2) - 2 = 16 - 8 + 4 + 2 - 2 = 12. Это не корень.

Шаг 3: Разложим многочлен на множители.

Теперь, когда мы нашли два корня (x = 1 и x = -1), мы можем использовать их для деления многочлена. Начнем с деления на (x - 1) и (x + 1).

Деление на (x - 1):

Выполним деление многочлена x⁴ + x³ + x² - x - 2 на (x - 1) с помощью деления столбиком или синтетического деления. В результате мы получим:

x³ + 2x² + 2x - 2.

Деление на (x + 1):

Теперь делим x³ + 2x² + 2x - 2 на (x + 1). В результате получаем:

x² + x - 2.

Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения.

Теперь у нас есть разложение:

(x - 1)(x + 1)(x² + x - 2) = 0.

Теперь решим квадратное уравнение x² + x - 2 = 0. Мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 1, c = -2.

Вычисляем дискриминант:

D = 1² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9.

Теперь подставляем в формулу:

x = (-1 ± √9) / 2 = (-1 ± 3) / 2.

Таким образом, получаем два корня:

• x₁ = (2) / 2 = 1
• x₂ = (-4) / 2 = -2

Шаг 5: Запишем все корни уравнения.

Итак, все корни уравнения x⁴ + x³ + x² - x - 2 = 0:

• x = 1 (двойной корень)
• x = -1 (одинарный корень)
• x = -2 (одинарный корень)

Таким образом, корни уравнения: x = 1, x = -1, x = -2.