Как можно упростить выражение (cos15 + sin15) / (cos15 - sin15)? Пожалуйста, объясните шаги решения!

Математика 11 класс Тригонометрические функции Упрощение выражения математика 11 класс решение тригонометрических задач cos15 sin15 шаги решения Новый

Чтобы упростить выражение (cos15 + sin15) / (cos15 - sin15), давайте рассмотрим несколько шагов. Мы будем использовать тригонометрические преобразования и свойства функций.

1. Обозначим переменные: Пусть x = cos(15°) и y = sin(15°). Тогда наше выражение можно записать как (x + y) / (x - y).
2. Используем формулу для деления: Мы можем умножить числитель и знаменатель на (x + y), чтобы избавиться от дроби. Это даст нам:
   • Числитель: (x + y)(x + y) = (x + y)²
   • Знаменатель: (x - y)(x + y) = x² - y² (по формуле разности квадратов)
3. Теперь подставим значения x и y: Мы знаем, что x = cos(15°) и y = sin(15°). Используем известные значения:
   • cos²(15°) + sin²(15°) = 1 (по основному тригонометрическому тождеству).
   • Следовательно, x² - y² = cos²(15°) - sin²(15°).
4. Теперь упростим выражение: Мы можем использовать формулу косинуса двойного угла:
   • cos²(15°) - sin²(15°) = cos(30°).
5. Теперь найдем значение (x + y)²: Это будет:
   • (cos(15°) + sin(15°))² = cos²(15°) + sin²(15°) + 2cos(15°)sin(15°).
   • Здесь cos²(15°) + sin²(15°) = 1, а 2cos(15°)sin(15°) = sin(30°) = 1/2 (по формуле произведения синуса).
6. Теперь подставим все обратно: Получаем:
   • Числитель: 1 + 1/2 = 3/2.
   • Знаменатель: cos(30°) = sqrt(3)/2.
7. Итак, окончательное выражение: (3/2) / (sqrt(3)/2) = 3/sqrt(3) = sqrt(3).

Таким образом, мы упростили выражение (cos15 + sin15) / (cos15 - sin15) до значения sqrt(3).