Как можно вычислить интеграл 8 (5x^3 - 4x^2 + 7x) dx?

Математика 11 класс Интегралы вычисление интеграла интеграл 8 5x^3 4x^2 7x математика 11 класс методы интегрирования определенный интеграл неопределенный интеграл Новый

Чтобы вычислить интеграл функции 8(5x^3 - 4x^2 + 7x) dx, мы можем следовать следующим шагам:

1. Вынести константу за знак интеграла: Поскольку 8 является постоянным множителем, мы можем вынести его за знак интеграла.
2. Интегрировать каждую часть отдельно: Теперь нам нужно интегрировать полином (5x^3 - 4x^2 + 7x).

Таким образом, мы можем записать интеграл следующим образом:

∫ 8(5x^3 - 4x^2 + 7x) dx = 8 * ∫ (5x^3 - 4x^2 + 7x) dx

Теперь давайте найдем интеграл полинома:

1. Интеграл 5x^3:
   • Используем правило интегрирования: ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C.
   • Для n = 3: ∫ 5x^3 dx = 5 * (x^(3+1))/(3+1) = 5 * (x^4)/4 = (5/4)x^4.
2. Интеграл -4x^2:
   • Для n = 2: ∫ -4x^2 dx = -4 * (x^(2+1))/(2+1) = -4 * (x^3)/3 = (-4/3)x^3.
3. Интеграл 7x:
   • Для n = 1: ∫ 7x dx = 7 * (x^(1+1))/(1+1) = 7 * (x^2)/2 = (7/2)x^2.

Теперь мы можем собрать все части вместе:

∫ (5x^3 - 4x^2 + 7x) dx = (5/4)x^4 - (4/3)x^3 + (7/2)x^2 + C

Теперь подставим это обратно в наш интеграл:

∫ 8(5x^3 - 4x^2 + 7x) dx = 8 * [(5/4)x^4 - (4/3)x^3 + (7/2)x^2 + C]

Умножим каждую часть на 8:

• 8 * (5/4)x^4 = 10x^4
• 8 * (-4/3)x^3 = -32/3 x^3
• 8 * (7/2)x^2 = 28x^2

Таким образом, окончательный результат будет:

∫ 8(5x^3 - 4x^2 + 7x) dx = 10x^4 - (32/3)x^3 + 28x^2 + C

Где C - произвольная константа интегрирования.