Как можно вычислить площадь трапеции, которая ограничена графиком функции y = -x^2 + 3x и осью y (y = 0), применяя интеграл?

Математика 11 класс Интегралы и площади фигур площадь трапеции интеграл график функции y = -x^2 + 3x ось Y вычисление площади математика 11 класс Новый

Чтобы вычислить площадь трапеции, ограниченной графиком функции y = -x^2 + 3x и осью y (y = 0), мы можем использовать определенный интеграл. Давайте рассмотрим шаги, которые помогут нам это сделать.

1. Найдите точки пересечения графика функции с осью y.
   • Для этого приравняем функцию к нулю:
   • -x^2 + 3x = 0
   • Вынесем x за скобки:
   • x(-x + 3) = 0
   • Таким образом, у нас есть два корня: x = 0 и x = 3.
2. Определите, какой участок графика мы будем интегрировать.
   • Мы будем интегрировать функцию от x = 0 до x = 3, так как именно в этих точках график пересекает ось x.
3. Запишите определенный интеграл для вычисления площади.
   • Площадь S под графиком функции и над осью x можно найти с помощью следующего интеграла:
   • S = ∫ (от 0 до 3) (-x^2 + 3x) dx.
4. Вычислите интеграл.
   • Сначала найдем неопределенный интеграл:
   • ∫ (-x^2 + 3x) dx = -1/3 * x^3 + (3/2) * x^2 + C.
   • Теперь подставим пределы интегрирования:
   • S = [-1/3 * (3)^3 + (3/2) * (3)^2] - [-1/3 * (0)^3 + (3/2) * (0)^2].
   • Вычислим это выражение:
   • S = [-1/3 * 27 + (3/2) * 9] - [0].
   • S = [-9 + 13.5] = 4.5.
5. Запишите окончательный ответ.
   • Площадь трапеции, ограниченной графиком функции y = -x^2 + 3x и осью y, равна 4.5 квадратных единиц.

Таким образом, мы использовали определенный интеграл для вычисления площади фигуры, ограниченной заданной функцией и осью x.