Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми y = x² и y = √(x + 1) на отрезке [0; 1], нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Сначала найдем, где функции пересекаются. Для этого приравняем их:

• x² = √(x + 1)

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

• (x²)² = (√(x + 1))²
• x⁴ = x + 1

Переносим все в одну сторону:

• x⁴ - x - 1 = 0

Это уравнение можно решить численно или графически, но на отрезке [0; 1] мы можем заметить, что x = 0 и x = 1 - это границы, и они не являются решениями. Поэтому мы можем проверить, пересекаются ли функции в пределах отрезка.

Теперь мы можем проверить, какая из функций больше на отрезке [0; 1]. Подставим пару значений:

• Для x = 0: y = 0² = 0 и y = √(0 + 1) = 1
• Для x = 1: y = 1² = 1 и y = √(1 + 1) = √2 ≈ 1.41

Таким образом, функция √(x + 1) выше функции x² на отрезке [0; 1].

Площадь фигуры S, ограниченной этими кривыми, можно найти, вычислив определенный интеграл разности верхней функции и нижней функции:

• S = ∫(√(x + 1) - x²) dx от 0 до 1

Теперь вычислим интеграл:

• ∫(√(x + 1) - x²) dx = ∫√(x + 1) dx - ∫x² dx

Решим каждый из интегралов по отдельности:

• Для ∫√(x + 1) dx можно использовать замену: u = x + 1, тогда du = dx, и границы изменятся с 0 до 1 на 1 до 2.
• ∫√(u) du = (2/3)u^(3/2) + C = (2/3)(x + 1)^(3/2) + C.
• Теперь подставим границы: (2/3)(2^(3/2) - 1^(3/2)) = (2/3)(2√2 - 1).
• Для ∫x² dx = (1/3)x³, и подставив границы от 0 до 1, получаем (1/3)(1³ - 0³) = 1/3.

Теперь подставим результаты в формулу для площади:

• S = [(2/3)(2√2 - 1)] - (1/3).

Упрощаем:

• S = (2/3)(2√2 - 1) - (1/3) = (2√2 - 2)/3.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x² и y = √(x + 1) на отрезке [0; 1], равна (2√2 - 2)/3.