Помогите, пожалуйста, по интегралам!

Как найти S фигуры, если она ограничена y=x^2 и y=√x+1 на отрезке [0;1]?

Математика 11 класс Интегралы и площади фигур интегралы S фигуры y=x^2 y=√x+1 отрезок [0;1] математические задачи Новый

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 и y = √(x + 1) на отрезке [0; 1], необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найти точки пересечения кривых

Сначала нужно определить, где эти две функции пересекаются. Для этого приравняем их:

x^2 = √(x + 1)

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

(x^2)^2 = (√(x + 1))^2

Это даст нам:

x^4 = x + 1

Переносим все в одну сторону:

x^4 - x - 1 = 0

Теперь мы можем решить это уравнение, используя численные методы или графически. На отрезке [0; 1] мы можем заметить, что x = 1 является решением, так как:

1^4 - 1 - 1 = 1 - 1 - 1 = -1

Также проверим x = 0:

0^4 - 0 - 1 = -1

Поэтому у нас есть одно решение на отрезке [0; 1]: x = 1.

Шаг 2: Построить графики функций

Теперь мы можем построить графики функций y = x^2 и y = √(x + 1) на отрезке [0; 1], чтобы увидеть, какая функция находится выше.

На отрезке от 0 до 1:

• y = x^2 принимает значения от 0 до 1.
• y = √(x + 1) принимает значения от √1 = 1 до √2 ≈ 1.41.

Таким образом, на отрезке [0; 1] функция y = √(x + 1) находится выше, чем y = x^2.

Шаг 3: Найти площадь фигуры

Площадь S между двумя кривыми на отрезке [a; b] можно найти по формуле:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

где f(x) - верхняя функция, g(x) - нижняя функция. В нашем случае:

• f(x) = √(x + 1)
• g(x) = x^2

Таким образом, площадь S будет равна:

S = ∫[0, 1] (√(x + 1) - x^2) dx

Шаг 4: Вычислить интеграл

Теперь нам нужно вычислить этот интеграл:

S = ∫[0, 1] (√(x + 1) - x^2) dx

Сначала вычислим интеграл от √(x + 1):

• Подставляем u = x + 1, тогда du = dx, и когда x = 0, u = 1, а когда x = 1, u = 2.
• Интеграл становится ∫[1, 2] u^(1/2) du = (2/3) * u^(3/2) |[1, 2] = (2/3) * (2^(3/2) - 1^(3/2)) = (2/3) * (2√2 - 1).

Теперь вычислим интеграл от x^2:

∫[0, 1] x^2 dx = (1/3) * x^3 |[0, 1] = (1/3) * (1 - 0) = 1/3.

Шаг 5: Подставить значения

Теперь подставим результаты в формулу для площади:

S = (2/3) * (2√2 - 1) - 1/3.

Это и будет искомая площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми на отрезке [0; 1].