Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной заданными кривыми, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их подробно.

Шаг 1: Определение границ интегрирования

• Кривые, которые мы рассматриваем: у = -x^2 + 1 (это парабола) и у = 0 (это ось абсцисс).
• Также у нас есть вертикальные линии: x = -1 и x = 1.
• Сначала найдем точки пересечения кривой у = -x^2 + 1 и оси у = 0. Для этого приравняем у к нулю:

-x^2 + 1 = 0

x^2 = 1

x = ±1

Таким образом, точки пересечения находятся в x = -1 и x = 1.

Шаг 2: Построение графика

• Кривая у = -x^2 + 1 - это парабола, направленная вниз, с вершиной в точке (0, 1).
• Ось у = 0 - это горизонтальная линия, где у = 0.
• Границы интегрирования будут от x = -1 до x = 1.

Шаг 3: Настройка интеграла для вычисления площади

• Площадь под кривой у = -x^2 + 1 от x = -1 до x = 1 будет равна интегралу от этой функции:

Площадь = ∫ от -1 до 1 (-x^2 + 1) dx

Шаг 4: Вычисление интеграла

• Теперь давайте вычислим этот интеграл:

∫ (-x^2 + 1) dx = - (x^3)/3 + x

Теперь подставим пределы интегрирования от -1 до 1:

Площадь = [ - (1^3)/3 + 1 ] - [ - (-1^3)/3 + (-1) ]

Площадь = [ -1/3 + 1 ] - [ 1/3 - 1 ]

Площадь = [ 2/3 ] - [ -2/3 ]

Площадь = 2/3 + 2/3 = 4/3

Шаг 5: Итоговый ответ

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной заданными кривыми, равна 4/3.