Как найти площадь криволинейной трапеции, которая ограничена кривыми: у = -х^2 + 1, у = 0, х = -1 и х = 1? Пожалуйста, помогите, это очень важно для экзамена!

Математика 11 класс Интегралы и площади фигур площадь криволинейной трапеции математика 11 класс интегралы нахождение площади кривые функции Новый

Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной заданными кривыми, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их подробно.

Шаг 1: Определение границ интегрирования

• Кривые, которые мы рассматриваем: у = -x^2 + 1 (это парабола) и у = 0 (это ось абсцисс).
• Также у нас есть вертикальные линии: x = -1 и x = 1.
• Сначала найдем точки пересечения кривой у = -x^2 + 1 и оси у = 0. Для этого приравняем у к нулю:

-x^2 + 1 = 0

x^2 = 1

x = ±1

Таким образом, точки пересечения находятся в x = -1 и x = 1.

Шаг 2: Построение графика

• Кривая у = -x^2 + 1 - это парабола, направленная вниз, с вершиной в точке (0, 1).
• Ось у = 0 - это горизонтальная линия, где у = 0.
• Границы интегрирования будут от x = -1 до x = 1.

Шаг 3: Настройка интеграла для вычисления площади

• Площадь под кривой у = -x^2 + 1 от x = -1 до x = 1 будет равна интегралу от этой функции:

Площадь = ∫ от -1 до 1 (-x^2 + 1) dx

Шаг 4: Вычисление интеграла

• Теперь давайте вычислим этот интеграл:

∫ (-x^2 + 1) dx = - (x^3)/3 + x

Теперь подставим пределы интегрирования от -1 до 1:

Площадь = [ - (1^3)/3 + 1 ] - [ - (-1^3)/3 + (-1) ]

Площадь = [ -1/3 + 1 ] - [ 1/3 - 1 ]

Площадь = [ 2/3 ] - [ -2/3 ]

Площадь = 2/3 + 2/3 = 4/3

Шаг 5: Итоговый ответ

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной заданными кривыми, равна 4/3.