Как можно вычислить предел: Lim(x->0) (1 - cos^2 x) / (x * tg x)?

Математика 11 класс Пределы функций предел вычисление предела математика 11 класс лимит функции тригонометрические функции cos^2 x tg x анализ предела математика для старшеклассников задачи по математике Новый

Чтобы вычислить предел Lim(x->0) (1 - cos^2 x) / (x * tg x), начнем с упрощения выражения в числителе и знаменателе.

Первое, что мы можем заметить, это то, что 1 - cos^2 x можно заменить на sin^2 x, так как это следует из тригонометрической идентичности:

• 1 - cos^2 x = sin^2 x

Теперь подставим это в предел:

Lim(x->0) (sin^2 x) / (x * tg x)

Теперь вспомним, что tg x можно выразить через sin x и cos x:

• tg x = sin x / cos x

Таким образом, мы можем переписать знаменатель:

x * tg x = x * (sin x / cos x) = (x * sin x) / cos x

Теперь подставим это в предел:

Lim(x->0) (sin^2 x) / ((x * sin x) / cos x)

Теперь мы можем упростить дробь:

Lim(x->0) (sin^2 x * cos x) / (x * sin x)

Мы можем сократить sin x в числителе и знаменателе (при условии, что x не равен 0):

Lim(x->0) (sin x * cos x) / x

Теперь мы можем использовать известный предел:

Lim(x->0) (sin x) / x = 1

Таким образом, мы можем записать предел как:

Lim(x->0) sin x * cos x * Lim(x->0) 1/x

Теперь мы видим, что при x стремящемся к 0, cos x стремится к 1:

Lim(x->0) cos x = 1

Таким образом, предел становится:

1 * 1 = 1

Итак, окончательный ответ:

Lim(x->0) (1 - cos^2 x) / (x * tg x) = 1