Как можно вычислить предел выражения lim (x^(2)+x-12)/( √x-2-√4-x) при x, стремящемся к 4?

Математика 11 класс Пределы функций предел выражения вычисление предела математический анализ предел при x стремящемся lim (x^2+x-12)/(√x-2-√4-x) Новый

Чтобы вычислить предел выражения lim (x^(2)+x-12)/(√x-2-√4-x) при x, стремящемся к 4, давайте рассмотрим шаги, которые нам нужно будет выполнить.

1. Подставим значение x = 4 в выражение.

   Сначала подставим 4 в числитель и знаменатель:

   • Числитель: 4^(2) + 4 - 12 = 16 + 4 - 12 = 8.
   • Знаменатель: √4 - 2 - √(4 - 4) = 2 - 2 - 0 = 0.

   Мы видим, что при подстановке x = 4 числитель равен 8, а знаменатель равен 0. Это указывает на то, что мы имеем неопределенность вида 8/0, что говорит о том, что предел может стремиться к бесконечности.

2. Преобразуем выражение.

   Чтобы более точно исследовать предел, попробуем упростить знаменатель:

   Знаменатель √x - 2 - √(4 - x) можно преобразовать, используя разность квадратов:

   • Сначала умножим и разделим на сопряженное выражение (√x - 2 + √(4 - x)):
   • Тогда мы получаем: (√x - 2 - √(4 - x)) * (√x - 2 + √(4 - x)) = (x - 4).

   Таким образом, мы можем записать:

   lim (x^(2) + x - 12) / ((√x - 2 - √(4 - x)) * (√x - 2 + √(4 - x))) = lim (x^(2) + x - 12) / (x - 4).

3. Проверим, можем ли мы упростить числитель.

   Числитель x^(2) + x - 12 можно разложить на множители:

   x^(2) + x - 12 = (x - 3)(x + 4).

   Теперь мы можем переписать предел:

   lim ((x - 3)(x + 4)) / (x - 4).

   Теперь подставим x = 4:

   lim ((4 - 3)(4 + 4)) / (4 - 4) = (1 * 8) / 0.

   Это снова неопределенность, но мы видим, что числитель не равен нулю.

4. Определим предел.

   Так как мы имеем 8/0, это указывает на то, что предел стремится к бесконечности:

   lim (x^(2) + x - 12) / (√x - 2 - √(4 - x)) = +∞ или -∞ в зависимости от направления подхода к 4.

Таким образом, мы можем заключить, что предел выражения lim (x^(2)+x-12)/(√x-2-√(4-x)) при x, стремящемся к 4, стремится к бесконечности.