Как можно вычислить производную для следующих функций:

1. y = arcsin(x^3)
2. y = (5x - 1) * ln^2(x)
3. y = (e^(1 - 4x) + e^(4x - 1)) / (e^(1 - 4x) - e^(4x - 1))

Математика 11 класс Производная функции вычисление производной производная arcsin производная ln производная дроби производная сложной функции Новый

Чтобы найти производные данных функций, мы будем использовать правила дифференцирования, такие как правило производной сложной функции, производной произведения и частного, а также производной логарифма и экспоненты. Рассмотрим каждую функцию по отдельности.

1. Функция: y = arcsin(x^3)

Для нахождения производной этой функции воспользуемся правилом цепочки:

1. Сначала найдем производную внешней функции arcsin(u), где u = x^3. Производная arcsin(u) равна 1 / sqrt(1 - u^2).
2. Теперь найдем производную внутренней функции u = x^3. Она равна 3x^2.
3. Теперь применим правило цепочки:
4. dy/dx = (1 / sqrt(1 - (x^3)^2)) * (3x^2) = 3x^2 / sqrt(1 - x^6).

Таким образом, производная функции y = arcsin(x^3) равна:

dy/dx = 3x^2 / sqrt(1 - x^6).

2. Функция: y = (5x - 1) * ln^2(x)

Здесь мы применим правило произведения:

1. Обозначим u = 5x - 1 и v = ln^2(x).
2. Сначала найдем производные u и v:
• du/dx = 5.
• Для v = ln^2(x) используем правило цепочки: dv/dx = 2 * ln(x) * (1/x) = 2ln(x)/x.
3. Теперь применим правило произведения: dy/dx = u * (dv/dx) + v * (du/dx).
4. Подставляем значения:
5. dy/dx = (5x - 1) * (2ln(x)/x) + ln^2(x) * 5.

Таким образом, производная функции y = (5x - 1) * ln^2(x) равна:

dy/dx = (5x - 1) * (2ln(x)/x) + 5ln^2(x).

3. Функция: y = (e^(1 - 4x) + e^(4x - 1)) / (e^(1 - 4x) - e^(4x - 1))

Для этой функции используем правило частного:

1. Обозначим числитель как u = e^(1 - 4x) + e^(4x - 1) и знаменатель как v = e^(1 - 4x) - e^(4x - 1).
2. Найдем производные u и v:
• du/dx = -4e^(1 - 4x) + 4e^(4x - 1).
• dv/dx = -4e^(1 - 4x) - 4e^(4x - 1).
3. Теперь применим правило частного:
4. dy/dx = (v * (du/dx) - u * (dv/dx)) / v^2.
5. Подставляем значения:
6. dy/dx = ((e^(1 - 4x) - e^(4x - 1)) * (-4e^(1 - 4x) + 4e^(4x - 1)) - (e^(1 - 4x) + e^(4x - 1)) * (-4e^(1 - 4x) - 4e^(4x - 1))) / (e^(1 - 4x) - e^(4x - 1))^2.

Таким образом, производная функции y = (e^(1 - 4x) + e^(4x - 1)) / (e^(1 - 4x) - e^(4x - 1)) равна:

dy/dx = ((e^(1 - 4x) - e^(4x - 1)) * (-4e^(1 - 4x) + 4e^(4x - 1)) - (e^(1 - 4x) + e^(4x - 1)) * (-4e^(1 - 4x) - 4e^(4x - 1))) / (e^(1 - 4x) - e^(4x - 1))^2.